Пространство линейных операторов

Рассмотрим [math]X \times Y = \{[/math] все Л.О. [math]\mathcal{A} \colon X \to Y\}[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y[/math] Отображение [math]\mathcal{C}[/math] называется суммой [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})[/math],\ если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y[/math] Отображение [math]\mathcal{D}[/math] называется произведением [math]\mathcal{A}[/math] на число [math]\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)[/math],\ если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x[/math]

Лемма:

[math]\mathcal{C}[/math] и [math]\mathcal{D}[/math] — суть линейного оператора (замкнуты)