Собственные векторы и собственные значения

Основные теоремы и определения

Определения

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] - линейный оператор (ЛО) [math]x\ne 0_x[/math] называется собственным вектором [math]\mathcal{A}[/math], если [math]x \in L[/math], где [math]L[/math] — инвариантное подпространство [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\dim L = 1[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] [math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором [math]\mathcal{A}[/math], если существует [math]\lambda \in F \colon \mathcal{A}x = \lambda x[/math]

Лемма:

Предыдущие 2 определения эквивалентны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ ([/math]т. к. [math]x \ne 0_X \Rightarrow[/math] базис [math]L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x[/math] (единственным образом) [math] (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in[/math] одномерному подпространству [math]L[/math], где [math]L =[/math] линейная оболочка [math]\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]\lambda[/math] в равенстве [math]\mathcal{A}x = \lambda x[/math] называется собственным числом (собственным значением) ЛО [math]\mathcal{A}[/math]

Определение:

Спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений [math]\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}[/math]

// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно

Свойства

Теорема:

Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям образуют ЛНЗ набор

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) База: рассмотрим [math]\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}[/math] - ЛНЗ набор. 2) [math]\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}[/math] - ЛНЗ. Рассмотрим [math]\{x_1, ..., x_m \} [/math]- докажем, что тоже ЛНЗ. [math]\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 [/math] [math]\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x[/math] (1) [math]\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2) (1) - (2) : [math]\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x[/math] По предположению индукции [math]\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 [/math], при этом все [math](\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0[/math] [math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math] [math]\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x[/math] [math]\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x [/math], где [math]x_m \ne 0_x[/math] [math]\Rightarrow \alpha_m=0[/math], т.е. набор ЛНЗ.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора [math]\mathcal{A}[/math], образует подпространство пространства [math]X[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Если [math]x[/math] — св, то и [math] \alpha x[/math] — тоже св. 2) Если [math]x,y[/math] — св, то и [math]x+y[/math] — тоже св. Из 1 и 2 [math]\Rightarrow[/math] что лемма доказана (по определению подпространства)

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]L = [/math] линейная оболочка [math]\{[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \}[/math] называют собственным подпространством [math]X \leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math]

Лемма:

Пусть L - линейная оболочка[math]\{ [/math] всех [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i\}[/math] Пусть [math]X_{\lambda i}[/math] - собственное подпространство X [math]\leftrightarrow \lambda_i[/math] Тогда [math]L = X_{\lambda i}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство (так в конспекте); Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма ((следствие из теоремы)):

У ЛО не может быть больше [math]n[/math] СЗ, где [math]n = dimX[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

(идет как упражнение) По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. [math]\Rightarrow[/math] их не больше чем размерность пространства, а [math]dim X = n [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Поиск СЗ и СВ

[math]x \ne 0_x[/math] и [math]\mathcal{A}x = \lambda x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 [/math]

[math]{C}= \begin{pmatrix} ({\alpha}_{1}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{2}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{1} \xi^n \\ {\alpha}_{1}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{2}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{2} \xi^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\alpha}_{1}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{2}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{n}^{n}- \lambda) \xi^n \\ \end{pmatrix}[/math]

Если [math]det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists [/math] тривиальное решение [math](0,0 ... ,0)^T[/math]

Если [math]det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists [/math] нетривиальное решение [math]\Rightarrow \exists[/math] СВ [math]x[/math]

[math]\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 [/math] - характеристический полином

[math]det(A- \lambda E) = 0[/math] - уравнение на СЗ, а [math]det(A- \lambda E)X = 0[/math] - уравнение на СВ

Из уравнения на СЗ находим [math]\{\lambda_i \}[/math] - корни характеристического полинома, они же - характеристические числа.

Затем подставляем каждую [math]\lambda_i[/math] в уравнение на СВ по очереди на находим СВ [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i[/math].

Так найдутся все СВ.

Теорема:

Пусть [math] \mathcal{A} : X \to X, X[/math] над С, тогда у [math]\mathcal{A}[/math] есть хотя бы одно СЗ и один СВ.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Основная теорема алгебры гласит, что у [math]\forall[/math] полинома комплексной переменной всегда есть корень.

[math]\triangleleft[/math]