Получение номера по объекту

Описание алгоритма

Номер данного комбинаторного объекта равен количеству меньших в лексикографическом порядке комбинаторных объектов (нумерацию ведём с 0). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины [math]i[/math] совпадает, а [math]i+1[/math] элемент лексикографически меньше [math]i+1[/math]-го в данном объекте ([math]i = 0..n-1[/math]). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму

• numOfObject — искомый номер комбинаторного объекта.
• a[1..n] — данный комбинаторный обьект.
• d[i][j] - (количество комбинаторных объектов с префиксом от 1 до [math]i-1[/math] равным данному и с [math]i[/math]-м элементом равным [math]j[/math])

 numOfObject = 0                          
 for i = 1 to n do                        // перебираем элементы комбинаторного объекта
   for j = 1 to a[i] - 1 do               // перебираем элементы которые в лексикографическом порядке меньше рассматриваемого
     if элемент j можно поставить на i-e место
       then numOfObject += d[i][j]

Сложность алгоритма — [math]O(nk) [/math], где [math]k[/math] - количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для битового вектора [math]k=2[/math]: возможны только 0 и 1. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.

Перестановки

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера [math]n[/math].

• P[1..n] — количество перестановок данного размера.
• a[1..n] — данная перестановка.
• was[1..n] — использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.

 for i = 1 to n do                         // n - количество цифр в перестановке
   for j = 1  to a[i] - 1 do               // перебираем элемент, который может стоять на i-м месте лексикографически меньше нашего
     if was[j] == false                    // если элемент j ранее не был использован
       then numOfPermutation += P[n - i]   // все перестановки с префиксом длиной i-1 равным нашему, и i-й элемент у которых меньше 
                                              нашего в лексикографическом порядке идут раньше данной перестановки               
       was[i] = true                       // элемент i использован            

Данный алгоритм работает за [math]O(n ^ 2) [/math].

Битовые вектора

Рассмотрим алгоритм получения номера [math]i[/math] в лексикографическом порядке данного битового вектора размера [math]n[/math]. Количество битовых векторов длины [math]n[/math] — [math]2^n[/math]. На каждой позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия:

• numOfBitvector — искомый номер вектора.
• bitvector[1..n] — данный вектор.

for i = 1 to n do                                         
 if bitvector[i] == 1  {
    numOfBitvector += 2 ^ (n - i)        
 }

См. также

• Получение объекта по номеру

• Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31