Список заданий по АСД

<wikitex>

Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных, 3 семестр

Некоторые задания можно найти в книге Харари, Теория графов

1. Доказать, что если из $u$ достижима $v$, то существует простой путь из $u$ в $v$.
2. Доказать, что если в ориентированном графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
3. Доказать, что если в неориентированным графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
4. Петя придумал отношение средней связности: $u$ средне связана с $v$, если из $u$ достижима $v$ или из $v$ достижима $u$. Является ли это отношение отношением эквивалентности?
5. Пусть граф $G$ - объединение двух различных простых путей из $u$ в $v$. Докажите, что в $G$ есть цикл.
6. Харари 2.3
7. Харари 2.5
8. Харари 2.9
9. Харари 2.13
10. Харари 2.15
11. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
12. Харари 2.16
13. Харари 2.20
14. Доказать теорему об эквивалентности утверждений для точек сочленения.
15. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
16. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
17. Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
18. При каких соотношениях $a$, $b$, $n$, $m$, $k$ существует граф с $a$ точками сочленения, $b$ мостами, $n$ вершинами, $m$ рёбрами, $k$ компонентами связности?
19. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это рефлексивно-транзитивное замыкание $R$.
20. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
21. Харари 3.2
22. Харари 3.3
23. Харари 3.4
24. Харари 3.5
25. Харари 3.6
26. Рассмотрим неориентированный граф $G$. Запустим dfs, затем ориентируем рёбра дерева dfs $T$ от корня, а остальные - к корню. Доказать, что компоненты сильной связности в получившемся графе равны компонентам рёберной двусвязности в исходном графе
27. Разработать алгоритм поиска компонент рёберной двусвязности, используя ровно один запуск dfs.
28. Разработать алгоритм поиска компонент вершинной двусвязности, используя ровно один запуск dfs.
29. Пусть $T$ - дерево dfs. Укажите способ за $O(E)$ посчитать число пар $(e_1, e_2)$, таких что 1) $e1 \in T$; 2) $e2\not\in T$; 3) граф $G$ после удаления рёбер $e_1$ и $e_2$ - не связен.
30. Пусть $T$ - дерево dfs. Укажите способ за $O(E)$ посчитать число пар $(e_1, e_2)$, таких что 1) $e1 \in T$; 2) $e2 \in T$; 3) граф $G$ после удаления рёбер $e_1$ и $e_2$ - не связен.
31. Петя неправильно написал алгоритм подсчёта up, делая up[u] = min(up[u], up[v]) даже если ребро uv - обратное. Будет ли у него работать поиск мостов?
32. Петя неправильно написал алгоритм подсчёта up, делая up[u] = min(up[u], up[v]) даже если ребро uv - обратное. Будет ли у него работать поиск точек сочленения?
33. В первом издании Кормена была ошибка. Там было сказано, что вершина v есть точка сочленения тогда и только тогда, когда (v - корень И у v ≥ 2 сына) ИЛИ (v - не корень И up[v] ≥ enter[v]). Приведите контрпример.
34. Граф называется вершинно трёхсвязным, если он остаётся связным после удаления любых двух вершин. Доказать или опровергнуть, что в вершинно трёхсвязном графе любые три вершины лежат на простом цикле.
35. Граф называется вершинно k-связным, если он остаётся связным после удаления любых (k - 1) вершин. Доказать или опровергнуть, что в вершинно k-связном графе любые k вершин лежат на простом цикле.
36. Пусть $G$ - связный граф. Обозначим как $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность. (для полного графа это число равно n - 1), $\lambda(G)$ - минимальное число рёбер, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность, $\delta(G)$ - минимальную степень в вершины в графе $G$. Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
37. Докажите, что для любых $a$, $b$, $c$, таких что $1 \le a \le b \le c$, существует граф $G$, такой что $\kappa(G) = a$, $\lambda(G) = b$, $\delta(G) = c$.
38. Харари 4.2
39. Харари 5.5
40. Харари 5.6
41. В условиях теоремы Дирака предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
42. Теорема Оре: если для любых вершин $u$ и $v$, не соединенных ребром, сумма степеней $deg(u) + deg(v) \ge n$, то в графе существует Гамильтонов цикл. В условиях теоремы Оре предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
43. В условиях теоремы Хватала предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
44. Харари 7.2
45. Харари 7.4
46. Харари 7.5
47. Харари 7.7
48. Харари 7.9
49. Харари 7.14
50. Харари 7.17
51. Харари 7.18
52. Харари 11.1
53. Харари 11.2
54. Харари 11.3
55. Харари 11.7
56. Харари 11.8
57. Харари 11.9
58. Харари 11.10
59. Харари 11.14
60. Харари 11.15
61. Харари 11.25
62. Доказать, что если $P_G(t) = t (t - 1)^{n - 1}$, то $G$ - дерево.
63. Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
64. Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
65. Харари 12.2
66. Харари 12.3
67. Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
68. Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
69. Модифицируйте алгоритм поиска в ширину так, чтобы он находил кратчайшие пути в графе с весами рёбер 0 или 1 за $O(E)$.
70. Модифицируйте алгоритм поиска в ширину так, чтобы он находил кратчайшие пути в графе с весами рёбер $0, 1, ..., k$ за $O(kV + E)$.
71. Доказать теорему об отсутствии кратчайшего пути на базе алгоритма Форда-Беллмана. (от $s$ до $v$ нет кратчайшего пути тогда и только тогда, когда она достижима из $u$, такой что после выполнения алгоритма Форда-Беллмана найдется ребро $xu$, для которого $d[x] + w(xu) < d[u]$)
72. Разработать алгоритм на базе Форда-Беллмана, который ищет в графе отрицательный цикл.
73. Укажите способ построить для некоторых $c_1, c_2 >0$ и любых V, E, где $c_1 V \le E \le c_2 V^2$ граф, на котором алгоритм Форда-Беллмана, реализовнный на очереди, работает за $\Omega(VE)$.
74. Приведите пример графа с отрицательными рёбрами, на котором алгоритм Дейкстры работает неверно.
75. Пусть веса рёбер не обязательно неотрицательны, но отрицательных циклов нет. Добавим в алгоритм Дейкстры следующее: если производится успешная релаксация по ребру $vx$ и $x \in U$, то вешина $x$ удаляется из $U$. Докажите, что, если этот алгоритм находит кратчайшие пути в графе.
76. Приведите пример графа, в котором алгоритм из предыдущего задания рабоатает экспоненциальное время.
77. Предложите граф, в котором алгоритм Дейкстры делает $\Omega(E)$ успешных релаксаций
78. Модифицируйте алгоритм Форда-Беллмана так, чтобы он находил в графе циклы минимального среднего веса.
79. Укажите способ модифицировать алгоритм Флойда, чтобы он находит отрицательные циклы в графе
80. Укажите способ восстанавливать пути между парами вершин в алгоритме Флойда
81. Доказать, что дерево $T$ является MST (здесь и далее MST - минимальное остовное дерево) тогда и только тогда, когда для любого ребра $uv \not\in T$ это ребро максимальное по весу на единственном цикле в графе $T \cup uv$. (Критерий Тарьяна)
82. Используя критерий Тарьяна предложить алгоритм проверки того, что $T$ - MST, работающий за $O(E\times DSU)$
83. [1]. Доказать корректность работы алгоритма Борувки.
84. Предложить реализацию алгоритма Борувки, работающую за $O(E \log V)$.
85. Предложите реализацию алгоритма Борувки, работающую за $O(E \log^*V)$. (Указание - см. Freedman, Tarjan статью про фибоначчиевы кучи)
86. Рассмотрим граф, вершины которого - остовные деревья $G$, а ребро между деревьями $T_1$ и $T_2$ существует, если $T_1$ получается из $T_2$ добавлением одного ребра и удалением другого. В нём рассмотрим подграф, состоящий только из $MST$. Доказать, что он связен.
87. Рассмотрим граф. Упорядочим все его остовные деревья по возрастанию веса. Требуется найти вес второго в этом упорядочении дерева.
88. Разработать алгоритм поиска всех рёбер, принадлежащих какому-нибудь MST за $O(VE)$.
89. Доказать, что число остовных деревьев в полном графе равно $n ^{n - 2}$.
90. Петя пытается применить алгоритм Прима для ориентированного графа. Приведите пример графа, на котором Петя не сможет найти MST.
91. Коля пытается применить алгоритм Краскала для ориентированного графа. Приведите пример графа, на котором Коля не сможет найти MST.
92. Предложите реализацию алгоримта двух китайцев за $O(E \log E)$.
93. Предложите алгоритм поиска остовного дерева с минимальным весом максимального ребра за время равное работе алгоритма поиска MST.
94. Пусть $w(uv)$ - вес ребра, $c(uv)$ - стоимость ребра. Разработать алгоритм построения остовного дерева минимальной средней стоимости. (Отношение суммы стоимостей рёбер дерева к сумме весов рёбер дерева должно быть минимальным)
95. Сформулируйте и докажите аналогичную лемме о сумме лемму о разности потоков.
96. Вспомните граф, показанный на лекции, где пропускные способности трех средних ребер 1, $\varphi$ и $\varphi^2$. Предложите последовательность дополняющих путей в этом графе, при выборе которых максимальный поток никогда не будет найден.
97. Будем жадно выбирать для дополнения путь с максимальной остаточной пропускной способностью. Докажите, что при этом в сети с целочисленными пропускными способностями время работы алгоритма будет $O(poly(V, E) \log(C_{max}))$, где $C_{max}$ - максимальная пропускная способность ребра, а $poly$ - некоторый полином.
98. Постройте граф, в котором алгоритм Эдмондса-Карпа совершить $\Omega(VE)$ дополнений
99. Докажите теорему о декомпозиции: любой поток можно представить в виде $f = \sum с_if_{P_i} + \sum d_j f_{C_j}$, где $P_i$ - пути из s в t, $C_j$ - циклы, $f_{P_i}$ и $f_{C_j}$ - единичные потоки вдоль этих путей/циклов, $c_i$ и $d_j$ - константы.
100. Докажите, что для любых $V$ и $E$ ($E = O(V^2)$, $E = \Omega(V)$) существует граф с $V$ вершинами и $E$ ребрами, в котором любая декомпозиция любого максимального потока содержит $\Omega(E)$ слагаемых, каждое из которых есть путь/цикл длины $\Omega(V)$.
101. Поток назовём циркуляцией, если его величина равна 0. Пусть в графе $G$ заданы две функции на ребрах: $L: E\to \mathbb{R}$ и $U: E\to \mathbb{R}$. Будем называть циркуляцию допустимой, если $L(uv) \le f(uv) \le R(uv)$. Требуется свести задачу поиска допустимой циркуляции в сети к задаче о максимальном потоке.
102. Сведите задачу о максимальном потоке с несколькими истоками и несколькими стоками к обычной задаче о максимальном потоке.
103. Можно ввести понятие пропускной способности вершины $c(u)$ как максимальной разрешенной суммы $\sum_{uv}f(uv)$. Решите задачу о максимальном потоке для графа с пропускными способностями вершин.
104. Пусть $f_{max}$ - максимальный поток в сети, а $f_{blocking}$ - блокирующий поток. Доказать, что $|f_{blocking}| / |f_{max}|$ может быть сколь угодно мало.
105. Доказать, что если в алгоритме масштабирования использовать алгоритм Диница вместо ФФ, то время работы равно $O(EVk)$.
106. Доказать, что в графе с целочисленными пропускными способностями рёбер число итераций while в алгоритме Диница равно $O(V^{2/3} C_{max}^{1/3})$.
107. Доказать, что в графе с целочисленными пропускными способностями рёбер число итераций алгоритма Диница равно $O(c(G)^{1/2})$, где $c(G)$ есть сумма пропускных способностей всех вершин.
108. Пусть $w(uv)$ - стоимость ребра, $c(uv)$ - пропускная способность ребра. Будем называть $s$-$t$-разделяющим множество ребер, при удалении которого из графа нет пути из $s$ в $t$. Разработать алгоритм построения $s$-$t$-разделяющего множества ребер минимальной средней стоимости. (Отношение суммы стоимостей рёбер к сумме пропускных способностей рёбер множества должно быть минимальным)
109. Глобальным разрезом называется разбиение множества вершин графа на два непустых непересекающихся множества. Сведите задачу о глобальном разрезе к поиску $O(V)$ максимальных потоков.
110. Докажите реберную теорему Менгера: минимальное число ребер, которые необходимо удалить в графе, чтобы из $s$ в $t$ не было пути, равно максимальному числу реберно непересекающихся путей из $s$ в $t$.
111. Докажите вершнинную теорему Менгера: минимальное число вершин, которые необходимо удалить в графе, чтобы из $s$ в $t$ не было пути, равно максимальному числу вершинно непересекающихся путей из $s$ в $t$ ($s$ и $t$ удалять нельзя).
112. Предложите алгоритм проверки, что в графе единственный минимальный разрез
113. Петя в алгоритме Форда-Фалкерсона для поиска паросочетания в двудольном графе сделал ошибку: оставил рёбра между долями графа неориентированными. Построить пример, на котором алгоритм будет работать неправильно.
114. Доказать теорему Холла: что в двудольном графе $G$ существует полное паросочетание тогда и только тогда, когда для любого множества вершин левой доли $A \subset X$ выполнено $|N(A)| \ge |A|$. ($N(A)$ - множество соседей вершин из $A$)
115. Докажите, что в регулярном двудольном графе существует полное паросочетание.
116. Дефектом множества вершин левой доли в графе называется $def(A) = |N(A)| - |A|$. Найти в двудольном графе множество с минимальным дефектом.
117. Дан ациклический ориентированный граф. Нужно покрыть его минимальным числом вершинно-непересекающихся путей. Сведите эту задачу к задаче о максимальном паросочетании.
118. Дан ациклический ориентированный граф. Нужно покрыть его минимальным числом реберно-непересекающихся путей.
119. Докажите, что если в графе единственное полное паросочетание, то в нем есть мост
120. Предложите алгоритм проверки, что в двудольном графе четное число полных паросочетаний
121. Предложите алгоритм проверки по двудольному графу и заданному полному паросочетанию, является ли оно единственным в этом графе (за $O(E)$).
122. Предложите алгоритм для решения следующей задачи за $O(E)$. Дан двудольный граф и полное паросочетание в нем. Требуется выяснить для каждого ребра, лежит ли оно на некотором полном паросочетании.
123. Задача об устойчивом паросочетании. Задан двудольный граф с равным числом вершин в долях. Для каждой вершины каждой доли известен порядок предпочтения вершин другой доли (каждая вершина знает, какая вершина другой доли ей нравится больше всего, какая вершина на втором месте, и так далее). Паросочетание называется устойчивым, если никакие две вершины не могут обменяться парами, чтобы для каждой из них новый партнер стал более предпочтительным. Требуется построить устойчивое полное паросочетание за $O(VE)$.
124. Пусть $G$ - регулярный двудольный граф степени $k$. Докажите, что ребра $G$ можно разбить на $k$ полных паросочетаний.
125. Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$, $U \subset V$, $U$ содержит нечетное число вершин и $m$ - число ребер, которые соединяют вершины $U$ с вершинами $V \setminus U$. Тогда $m$ четно тогда и только тогда, когда $k$ четно.
126. Докажите, что в двусвязном кубическом графе есть полное паросочетание.
127. Докажите, что если в двусвязном кубическом графе не более двух мостов, то в нем есть полное паросочетание.
128. Приведите пример кубического графа, в котором нет полного паросочетания.
129. Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Докажите, что если удалить из $G$ не более $k - 1$ ребра, получившийся граф будет иметь полное паросочетание.
130. Докажите, что если в графе $G$ есть соцветие $C$ и черенок достижим из вершины $u$, то в $G$ есть дополняющая цепь из вершины $u$ тогда и только тогда, когда она есть в графе $G/C$ (обратите внимание, она не обязана проходить через черенок, в отличие от леммы, рассказанной на лекции).

</wikitex>