Получение следующего объекта

Комбинаторные объекты

Комбинаторные объекты - Википедия

Алгоритм

Определение:

Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект $Q$ называется следующим за $P$, если $P \lt Q$ и не найдется такого $R$, что $P \lt R \lt Q$.

Отсюда понятен алгоритм:

• Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта $P$
• К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило $P \lt Q$)
• Дописываем минимальный возможный хвост

По построению получаем, что $Q$ — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

• Находим минимальный суффикс, в котором есть 0, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
• Вместо 0 записываем 1
• Дописываем минимально возможный хвост из нулей

 for i = n downto 1
     if a[i] == 0
         a[i] = 1
         for j = i + 1 to n
             a[j] = 0
         break

Пример работы

0	1	0	1	1	исходный битовый вектор
		^			находим элемент 0 (самый правый)
0	1	1	1	1	меняем его на 1
0	1	1	0	0	меняем элементы правее на нули
0	1	1	0	0	следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

• Двигаясь справа налево, находим элаемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
• Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
• Перевернем правую часть

 for i = n - 1 downto 1
     if a[i] < a[i + 1]
         // a[j] = min {a[j] > a[i], где j > i}
         swap(a[i], a[j])
         reverse(a[i + 1]..a[n])
         break

Пример работы

1	3	2	5	4	исходная перестановка
		^			находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
				^	минимальный элемент больше нашего
1	3	4	5	2	меняем их местами
1	3	4	2	5	разворачивам правую часть
1	3	4	2	5	следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

• Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
• Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
• Переворачиваем правую часть.

procedure nextMultiperm(var b:array[1..N] of integer);
  var i , j : integer;
  begin
   i := N -   1;
   while (i > 0) and (b[i] >= b[i + 1]) do
    dec(i);
   if i > 0 then
    begin
      j := i + 1;
      while (j < N) and (b[j + 1] > b[i]) do
        inc(j);
      swap(b[i] , b[j]);
      for j := i + 1 to (N + i) div 2 do
        swap(b[j], b[N - j + i + 1]);
      write(b[1..N]);
    end
   else
    begin
      write('null');
    end;
  end;

Пример работы

1	2	3	1	2	3	Исходная перестановка.
				^		Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
					^	Минимальный элемент больше нашего.
1	2	3	1	3	2	Меняем их местами.
1	2	3	1	3	2	Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

• Добавим в конец массива с сочетанием N+1 – максимальный элемент.
• Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на 2.
• Увеличим найденный элемент на 1, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.

procedure nextChoose(var a:array[1..N+1] of integer); // n,k - параметры сочетания.
 var i,j : integer;
 begin
  a[k + 1] := n + 1;
  i := n;
  while (i > 0) and ((a[i + 1] - a[i]) < 2) do
    i := i - 1;
  if i > 0 then
   begin
     a[i] := a[i] + 1;
     for j := i + 1 to k do
      a[j] := a[j - 1] + 1;
     write(a[1..n]);
   end
  else
   write('null');
 end;

Пример работы

1	2	5	6	7	Дописываем 7 в конец сочетания.
1	2	5	6	7
	^				Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1	3	5	6	7	Увеличиваем его на 1.
1	3	4	5	6	Дописываем минимальный хвост.
1	3	4	5		Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

• Увеличим предпоследнее число на 1, уменьшим последнее на 1.
• Если предпоследний элемент стал больше последнего, то увеличиваем предпоследний элемент на величину последнего.
• Если предпоследний элемент меньше последнего, то проверяем, можем ли мы разбить последний элемент на сумму предпоследних. Если да – разбиваем, пока предпоследний*2 < последнего.

// Алгоритм работает только для лексико-графического порядка.
// b – массив, содержащий разбиение данного числа, length – его размер.
procedure nextPartition(var b:array[1..length] of integer);
 var i : integer;
  begin   
   b[length] := b[length] - 1;
   b[length - 1] := b[length - 1] + 1;
   if b[length - 1] > b[length] then
    begin
      b[length - 1] := b[length - 1] + b[length];
      length := length - 1;
    end
   else
    begin
     i := 0;
     while b[length - 1] * 2 <= b[length + i] do
      begin
       b[length + i + 1] := b[length + i] - b[length - 1];
       b[length + i] := b[length - 1];
       i := i + 1;
      end;
     length := length + i;
    end;
   write(b[1..length];
  end;

Пример работы

1	1	7			Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1	2	6			Проверяем: 2<6, значит разбиваем 6 пока оно не станет <4
1	2	2	4
1	2	2	2	2
1	2	2	2	2	Следующее разбиение на слагаемые числа 9.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:$N_n = \{1, 2, ..., n\}$

Определение:

Разбиением на множества называется представление множества, как объединения одного или более попарно непересекающихся подмножеств множеств.

Например, для $n = 5$ существуют следующие разбиения:

$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$

$\{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}$

$\{1\}~\{2\}~\{3\}~\{4\}~\{5\}$

и т. д., всего таких разбиений для $n = 5$ существует 52.

Примечание: $\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$ и $\{4, 5\} ~\{1, 2, 3\}$ - одно и то же разбиение на подмножества.

Упорядочим все разбиения на множества $N_n$ лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество $A \subset N_n$ лексикографически меньше подмножества $B \subset N_n$ , если верно одно из следующих условий:

• существует $i$ такое, что $i \in A$ , $i \notin B$, для всех $j \lt i: j \in A$ если и только если $j \in B$ , и существует $k \gt i$ такое что $k \in B$;
• $A \subset B$ и $i \lt j$ для всех $i \in A$ и $j \in B$ \ $A$.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение $N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k$ лексикографически меньше разбиения $N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l$ если существует такое $i$, что $A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i$.

Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

• Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, например, разбиение $\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$ будет выглядеть так:

1	2	3
4	5

• Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
  • Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
  • Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
• Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

// a - матрица, содержащая подмножества
// used - массив, в котором мы храним удаленные элементы
fl = false
for i = n - 1 downto 0
    if  можем добавить в конец подмножества элемент из used
        добавляем
        break
    for j = a[i].size - 1 downto 0
        if можем заменить элемент, другим элементом из массива used 
           заменяем
           fl = true
           break
        used.add(a[i][j])   // удаляем элемент и добавляем его в массив
    if (fl) break
// далее выведем все получившиеся подмножества
sort(used)
for i = 0 to used.size - 1
   println(used[i])        // выводим лексикографически минимальных хвост

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1	2	3
4	5

1 Шаг:

1	2	3
4	5
	^		Удалили элемент 5.
			used

2 Шаг:

1	2	3
4
^			Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5			used

3 Шаг:

1	2	3	4
			^	Дополнили первое подмножество элементом 4
5				used

4 Шаг:

1	2	3	4
5				Дописали лексикографически минимальный хвост
				used

Ссылки

• Получение объекта по номеру
• Получение номера по объекту
• Визуализатор перестановок
• Пример компактного кода для перестановок (С++)