Перечислимые языки

Определение:

Полуразрешимый язык (semi-decidable language) — язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math].

Определение:

Перечислимый язык (recursively enumerable language) — язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math]. Язык [math]L[/math] называется коперечислимым, если [math]\overline L[/math] —перечислимый.

Определение:

Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом (time limit) [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт [math]\bot[/math] (символ зависания).

Теорема:

[math]L[/math] — перечислимый [math]\Leftrightarrow L[/math] — полуразрешимый.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] — перечислимый язык. Тогда для него существует программа [math]g[/math], которая по номеру [math]i[/math] выводит слово из [math]L[/math]. Значит, для всех [math]x[/math] из [math]L[/math] путем перебора значений функции [math]g[/math] мы можем найти такое [math]i[/math], что [math] g(i) = x[/math]. Следовательно, существует программа [math]p[/math], такая, что [math]\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math]. Тогда [math]L[/math] является полуразрешимым языком. [math]p(x):[/math] for [math] i = 1 ~ .. ~ \infty[/math] if [math] g(i) == x[/math] return [math] 1[/math] Пусть [math]L[/math] — полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа [math]p[/math], результат которой равен [math]1[/math] для любого слова из [math]L[/math]. Чтобы программа [math]p[/math] не зависала на словах, которые не принадлежат [math]L[/math], будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска [math]i[/math]-го слова из языка [math]L[/math] будем перебирать [math]k[/math] — тайм-лимит с которым будем запускать программу [math]p[/math]. Таким образом существует программа [math]g_0[/math], которая выводит [math]i[/math] слово языка [math]L[/math] с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество [math]U[/math], в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа [math]g[/math] доказывает, что [math]L[/math] является перечислимым языком. [math]g_0(i):[/math] [math]cnt = 0[/math] for [math] k = 1 ~ .. ~ \infty[/math] for [math] x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math] if [math] p|_k(x) == 1[/math] [math]cnt[/math]++ if [math] cnt == i[/math] return [math] x[/math] [math]g(i):[/math] [math]U = \emptyset[/math] for [math] j = 1 ~ .. ~ \infty[/math] [math]x = g_0(j)[/math] if [math] x \notin U[/math] [math]cnt[/math]++ if [math] cnt == i[/math] return [math] x[/math] [math]U.insert(x)[/math] Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то [math]L[/math] является перечислимым.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]L[/math] — перечислим и коперечислим [math]\Rightarrow[/math] [math]L[/math] — разрешим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим полуразрешители для [math]L[/math] и [math]\overline L[/math] и одновременно запустим их для одного и того же элемента [math]x[/math]. [math]x[/math] принадлежит либо [math] L [/math], либо [math]\overline{L}[/math], поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли [math]x[/math] в [math]L[/math] или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для [math]L[/math], то есть [math]L[/math] — разрешимый.

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
• Wikipedia— Recursively enumerable language
• Википедия — Рекурсивно перечислимый язык