Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками

Пример отображения

Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)

Рассмотрим отображение [math] D [/math] между точками и прямыми, такое что:

[math] D(P(k, b)) = (Y = kX - b) [/math]

[math] D(Y = kX + b) = P(k, -b) [/math]

Обозначим [math] L = \{l_1, l_2, ... , l_n\} [/math] — множество прямых. Сначала рассмотрим случай, когда пересечение не пусто и содержит точку [math] O [/math]. Тогда исходные полуплоскости [math] h_i [/math] — это прямая [math] l_i [/math] и полуплоскость, содержащая [math] O [/math].

Совпадение верхнего CH и нижней огибающей

Замечания:

• [math] D(D(P)) = P [/math]
• Точка [math] p [/math] лежит на прямой [math] l_i [/math] тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] лежит на прямой [math] D(p) [/math];
• Прямая [math] l_i [/math] лежит на границе пересечения тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] — экстремальная точка [math] D(L) [/math];
• Точка [math] l_i [/math] вершина пересечения прямых [math] l_i [/math] и [math] l_j [/math] тогда и только тогда, когда [math] l(D(l_i), D(l_j)) [/math] —опорное ребро конвекс халла [math] CH(D(L)) [/math];
• Точка [math] l_i [/math] — не экстемальная точка [math] D(L) [/math] тогда и только тогда, когда удаление [math] h_i [/math] не повлияет на пересечение.

Таким образом получаем:

• Взаимно однозначное соответствие между вершинами [math] CH(D(L)) [/math] и границами пересечения [math] \cap_{i=1}^{n}(l_i) [/math];
• Порядок точек в [math] CH(D(L)) [/math] совпадает с порядком прямых в пересечении.

Источники

• Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd edition), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 15 page 253-254
• http://wwwisg.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2012/GAG/slides/V12.pdf