Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне

Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline). Каждый запрос к дереву - это 2 вершины v,u для которых нужно найти такую вершину k, что k-предок вершин v и u, и k имеет максимальную глубину из всех таких вершин. Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за О(1) на запрос.

Алгоритм

Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё. Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u. Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка). На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs. Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu. Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v. Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина. Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.

Псевдокод

Для всех [math]u \in V[/math]

[math]d[u] \gets \infty[/math]

[math]d[s] \gets 0\[/math]
[math] U \gets \emptyset[/math]
Пока [math]\exists v \notin U[/math]

Пусть [math]v \notin U : d[v][/math] минимальный

Для всех [math]u \notin U[/math] таких, что [math]vu \in E[/math]

если [math] d[u] \gt d[v] + w(vu)[/math] то

[math]d[u] \gets d[v] + w (vu)[/math]

[math]U \gets v [/math]