Кратчайший путь в ациклическом графе

Пусть дан ациклический ориентированный взвешенный граф. Требуется найти вес кратчайшего пути из u в v

Определение:

Кратчайший путь из u в v – это такой путь из u в v, что его суммарный вес входящих в него ребер минимален

Решение

Пусть [math]d[/math] — функция, где [math]d(i)[/math] — вес кратчайшего пути из [math]u[/math] в [math]i[/math]. Ясно, что [math]d(u)[/math] равен [math]0[/math]. Пусть [math]w(i, j)[/math] - вес ребра из [math]i[/math] в [math]j[/math]. Будем обходить граф в порядке топологической сортировки. Получаем следующие соотношения:

[math] d(i) = \min\limits_{\mathop{j:j \rightsquigarrow i}} (d(j) + w(j, i)) [/math]

Так как мы обходим граф в порядке топологической сортировки, то на [math]i[/math]-ом шаге всем [math]d(j)[/math] ([math]j[/math] такие, что существует ребро из [math]j[/math] в [math]i[/math]) уже присвоены оптимальные ответы, и, следовательно, [math]d(i)[/math] также будет присвоен оптимальный ответ.

Реализация

Реализуем данный алгоритм:

 //w — матрица смежности
 //d — массив кратчайших расстояний 
 //p — массив индексов вершин графа в порядке топологической сортировки
 for i = 1 .. n
   d[i] = infinity
 d[u] = 0 // где u — начальная вершина

 p = topSort(w) //топологическая сортировка графа
 for i = 1 .. n
   for j: есть ребро из p[i] в j
     d[j] = min(d[j], d[p[i]] + w[p[i]][j]) 

Пример

Граф из примера

Пусть дана матрица смежности графа w со следующими весами ребер:

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	-	-	-	5	-	-	-	-
2	1	-	1	-	4	3	-	-
3	-	-	-	-	-	1	-	-
4	-	-	-	-	-	-	-	-
5	-	-	-	3	-	-	-	1
6	-	-	-	5	-	-	2	-
7	-	-	-	2	-	-	-	-
8	-	-	-	1	-	-	-	-

Требуется найти путь из 2 в 4.
Массив p будет выглядеть следующим образом:

1	2	3	4	5	6	7	8
2	3	6	7	1	5	8	4

Массив d будет выглядеть следующим образом:

1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	1	5	3	2	4	4

Ответ равен 5.

Альтернативный способ решения

Задачу так же можно решить поиском в ширину. Для этого будем поддерживать массив кратчайший расстояний от начальной до текущей вершины. Обходя граф в ширину, будем для каждой вершины обновлять ответы у ее сыновей как минимум из старого значения и пути, проходящего через текущую вершину.

В силу особенности обхода графа, когда происходит обновление сыновей вершины, для нее самой уже найден оптимальный ответ.

Смотри также

• Обход в ширину
• Алгоритм Флойда—Уоршалла
• Алгоритм Дейкстры
• Алгоритм Форда-Беллмана

Источники информации

• Алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе
• Принцип оптимальности на префиксе
• Принцип оптимальности на подзадаче (в качестве примера разбирается задача поиска кратчайшего пути в ациклическом графе)(англ.)