Функциональное программирование

Кр1

Убрать все сокращения и расставить все скобки

(λ a b . (λ c d e . e) a) (x y) y (λ f . x) y

Решение

Скобки ставятся по следующим правилам:

• тело абстракции заключается в скобки: λ x . M [math] \Rightarrow [/math] λ x . (M)
• аппликация левоассоциативна: a b c d [math] \Rightarrow [/math] ((a b) c) d
• сокращения раскрываются во вложенные лямбды (сразу с расставлением скобок): λ a b c . M [math] \Rightarrow [/math] λ a . (λ b . (λ c . (M)))

Важно: тело абстракции забирает всё до конца той скобки, в которую заключена.

Итого: ((((λ a . (λ b . ((λ c . (λ d . (λ e . (e)))) a))) (x y)) y) (λ f . (x))) y

Привести в нормальную форму

λ a b . a (λ c . b c) a (λ d . d) a
λ a . (λ b . y) (λ c . y (y (λ d . a a a)) (x x) a)

Решение

В нормальной форме нет редукций. Если нормальная форма существует, то её можно достичь при помощи редукций нормальным порядком, а аппликативным можно и не достичь.

1. Уже в нормальное форме, как ни странно
2. λ a . y

Нормальный порядок редукции

(λ a . y (y (y (λ b . a))) y) (x (x (x (λ c d . d) y)) x)

Здесь про стратегии редуцирования с примерами и определениями.

Нормальный порядок редуцирования — сначала раскрывается самый левый самый внешний редекс. Пример не очень удачный, так в нём всего одна редукция, после которой получится: y (y (y (λ b . (x (x (x (λ c d . d) y)) x)))) y

Более показательные и содержательные примеры (во всех случаях одна редукция будет произведена):

• (λ a . a) ((λ x . x) y) [math] \Rightarrow [/math] (λ x . x) y
• x (λ a . ((λ x . x) y) ((λ z . z) y)) [math] \Rightarrow [/math] x (λ a . y ((λ z . z) y))

Аппликативный порядок редукции

Здесь ещё про стратегии редуцирования, но немного другим языком (может быть, кому-то более понятным).

Аппликативный порядок редуцирования — первым делом редуцируем самый левый самый глубокий терм. То есть сначала упрощаем "аргументы" аппликации.

Те же примеры (во всех случаях одна редукция будет произведена):

• (λ a . a) ((λ x . x) y) [math] \Rightarrow [/math] (λ a . a) y
• x (λ a . ((λ x . x) y) ((λ z . z) y)) [math] \Rightarrow [/math] x (λ a . ((λ x . x) y) y)

Ещё один для разнообразия: ((λ x . y) (λ z . t)) ((λ a b c . a b c ((λ s . t) y) (λ t . x) u) (λ x . x)) ((λ x . x x) z) [math] \Rightarrow [/math] ((λ x . y) (λ z . t)) ((λ a b c . a b c ((λ s . t) y) (λ t . x) u) (λ x . x)) (z z)

Ленивый порядок редукции

Ленивый порядок редуцирования — это когда мы якобы заворачиваем терм в коробку, и если делаем редукцию в одном из термов коробки, то она делается во всех. При этом сам порядок редуцирования нормальный.

То есть пример:

(λ f . f f) ((λ x . x) z)

Сначала делаем обычную редукцию нормальным порядком и получаем:

((λ x . x) z) ((λ x . x) z)

А потом после редукции нормальным порядком надо сделать изменения сразу в двух термах, потому что они якобы в коробках, и получим суммарно за 2 редукции:

z z

Выписать систему уравнений типизации

(λ a . a a) (λ b c . c)

Решение

Сначала надо дать типы всем термам и подтермам, раздавая каждый раз новые буквы новым переменным и термам. А потом связать эти буквы по следующим правилам:

• если у нас абстракция (λ x . M) :: T0, x :: T1, M :: T2, то добавляем в систему T0 = T1 -> T2,
• если имеем аппликацию (M N) :: T0, M :: T1, N :: T2, то добавляем T1 = T2 -> T0
• если у нас переменная в теле абстракции встречается несколько раз и мы раздаём каждый раз ей новые буквы, то надо будет потом приравнять типы в аргументе абстракции и внутри её тела.

Итого:

(λ a . a a) (λ b c . c) :: A

(λ a . a a) :: B, (λ b c . c) :: C

a :: D, (a a) :: E

первая и вторая буквы "a" в E — a :: F, a :: G

Можем сразу расписать часть системы уравнений:

B = C -> A

B = D -> E

F = G -> E

D = F

D = G

Теперь расписываем терм с типом C (раскрыв сокращения для начала): (λ b . (λ c . c)) :: С

b :: H, (λ c . c) :: I

c :: J, c :: K

И добавляем уравнения:

C = H -> I

I = J -> K

J = K

Кодирование по Чёрчу

Выписать кайнды конструкторов типов, выписать типы конструкторов, закодировать по Чёрчу:

data Policeman a = Doctor a | Mice
data Tree a b c = Frog c | Pip (Tree a b c)

Этого задания не было в первой кр, поэтому оно будет расписано во второй. Вместо него была система уравнений типов чуть более адовая, чем в прошлом примере.

Кр2

Фотки

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5]
• [6]
• [7]
• [8]
• [9]
• [10]
• [11]
• [12]
• [13]

Разбор будет по фоткам 3, 4, 5 (остальные задания аналогичны):

N1. Порядок редуцирования

См. прошлую кр

E0. Определить примитивные конструкции

pair = \ x y p . p x y
fst  = \ r . r (\ x y . x)
snd  = \ r . r (\ x y . y)
fix  = \ f . (\ x . f (x x)) (\ x . f (x x))

Легко проверить, что fst (pair a b) = a, подставив и сделав редукции.

E1. Превратить let-биндинги в один большой лямбда-терм.

Конструкция

let x = z in y

превращается в

(\x . y) z

А пример просто превратится в

(\foo. [main]) [foo]

где [foo] — тело foo, [main] — тело main.

E2. let-биндинги, но с возможной взаимной рекурсией

foo = foo ((\ a . bar) foo)

bar = (\ a . y) y (\ b . y)

main = (\ a . foo (a z) (y y)) y

Решение

Осторожно! Магия

Расписывать формальный алгоритм довольно нудно и неприятно, поэтому здесь объяснение того, что происходит, а на примере должно быть понятно.

Сначала по каждому терму из условия надо составить терм с таким же именем, только штрихованный. В нём мы будем использовать первые буквы остальных термов. Фиксируем порядок аргументов, например для foo' это будет f b m. Тогда у всех остальных термов будет циклический порядок. То есть для bar' будет b m f, а для main' — m f b.

Теперь пишем foo'. Сначала используем fix. Потом абстракцию, аргументами которой является нужный набор из циклических перестановок (см. соответствие выше), а телом абстракции является тело foo с изменениями. Если встречается имя терма из задания, то надо его заменить на нужный циклический порядок. И если имена первых букв по каким-то причинам не подходят (коллизятся со связанными переменными), то надо более удачные имена этим переменным придумать.

Итого, после преобразований:

foo'  = fix (\ f b m . f b m ((\ a . b m f) (f b m)))
bar'  = fix (\ b m f . (\ a . y) y (\ b . y))
main' = fix (\ m f b . (\ a . f b m (a z) (y y)) y)

Результирующий терм выглядит как вызов штрихованной функции в нужной циклической перестановке:

main = main' foo' bar'

Но так как в этом задании дополнительные термы использовать нельзя, то main', foo', bar' надо проинлайнить в main.

N2. Раскрыть, как в E1 и нормализовать

В общем, в задании всё сказано. Надо превратить в один большой терм как в E1, а затем нормализовать, как в задании из первой кр.

S1. Расписать систему уравнений типов

Как в первой кр.

TP1. Убрать сокращения и расставить скобки

Именно это и требуется сделать. Разве что там вместо тела абстракции расписан её тип. А (->) в типе в отличие от аппликации правоассоциативна, то есть в

a -> b -> c

скобки ставятся следующим образом:

a -> (b -> c)

Итого:

• дано: (\ a b . b -> b -> a) x
• получается: (\ a . (\ b . b -> (b -> a))) x // вроде бы тут как раз весь тип внутри не надо заключать в скобки

TF1. Составить терм по типу

Тут надо пользоваться логикой. Вроде бы во всех примерах можно решить методом пристального взгляда. Мотивация: чтобы решение системы уравнений типов совпадало с полученным типом. Но в некоторых случаях довольно трудно (или даже невозможно) придумать терм по типу, например здесь не придумывается:

(a -> b) -> b -> a

Решение

Дано: forall a b c . (b -> c -> a) -> (c -> b) -> c -> a

Ответ: \f g c . f (g c) c

A1. Закодировать типы по Чёрчу (без взаимной рекурсии)

 data Doctor a = Minute a | Maybe a a a
 data Hour a b = Hour (Hour b b) (Doctor a) (Doctor b) | Roll b (Doctor a)

Решение

У каждого типа есть [math] N \geqslant 1[/math] конструктов, а у каждого конструктора есть [math] K \geqslant 0 [/math] аргументов.

Фиксируем тип с [math] N [/math] конструкторами. Каждый конструктор [math] C_i [/math] этого типа превращается в абстракцию, в которой сначала идут [math] K_i [/math] переменных — аргументы конструктора, а потом [math] N [/math] переменных, отвечающих конструкторам. В теле просто выбирается нужный конструктор и применяется ко всем аргументам.

caseTypeName тоже является абстракцией, которая принимает сначала одну переменную, которая "выбирает" нужный конструктор, затем набор переменных в количестве числа конструкторов. В теле просто применяется первая переменная ко всем остальным.

 -- сначала Doctor 
 Minute = \ a . \ x y . x a
 Maybe  = \ a b c . \ x y . y a b c
 caseDoctor = \ p . \ x y . p x y
 -- теперь Hour 
 Hour = \ a b c . \ x y . x a b c
 Roll = \ a b . \ x y . y a b
 caseHour = \ p . \ x y . p x y

Интересное наблюдение: переменная p в case является как раз нужным конструктором, в котором уже подставлены все аргументы этого конструктора.

A2. Закодировать типы через [math] \mu [/math] - комбинатор

data Return a b = List (Return b a) (Return b a) b | Roll (Return a a) (Return a a) (Mice a)
data Mice a = Bucket (Mice a) (Return a a) | Haystack (Mice a) a

Решение

Магия как в E2!

Опять делаем соотвествие между TypeName и TypeName'. Чтобы написать TypeName', необходимо преобразовать объявление дататипов по следующим правилам:

• сначала идёт mu (это как fix, только для типов),
• потом какая-нибудь уникальная буква для типа (например x для Return и y для Mice),
• после точки абстракция, которая сначала принимает в качестве аргумента другую уникальную букву, а затем аргументами параметры типа,
• T1 | T2 заменяется на T1 + T2,
• T1 T2 заменяется на T1 [math] \times [/math] T2,
• параметры типа оставляем как есть,
• если в конструкторе идёт наш тип, то пишем нашу уникальную букву, а затем уникальную букву другого типа, а если другой типа — наоборот; после чего параметры конструктора,
• если тип не наш и не буковка параметр датайпа, и не принимает параметров (например Nothing), то пишем 1 вместо неё.

Return' = mu x . \ y . \ a b . (x y b a) [math] \times [/math] (x y b a) [math] \times [/math] b + (x y a a) [math] \times [/math] (x y a a) [math] \times [/math] (y x a)
Mice'   = mu y . \ x . \ a . (y x a) [math] \times [/math] (x y a a) + (y x a) [math] \times [/math] a

После этого пишем ответ:

Return = Return' Mice'
Mice   = Mice' Return'

H1. Написать Haskell-код какой-нибудь структуру данных

• АВЛ-дерево: ссылка на pastebin

  почему я не знал Haskell, когда это дерево было в лабе по дискретке на первом курсе? ;( просто списывается с конспекта один в один...

• Квадродерево: ссылка на pastebin

  не совсем то, что требует Ян, но я пока не распарсил то, что он требует; возможно, более правильная версия появится позже

Кр3

ITMOPrelude

1. gromakovsky
   • Primitive.hs
   • List.hs
2. yakupov
   • Primitive.hs
   • List.hs
3. itanf
   • Primitive.hs
   • List.hs

Натуральные числа

data Nat = Zero | Succ Nat deriving (Show,Read) -- Определение натуральных чисел
natZero = Zero     -- 0
natOne = Succ Zero -- 1

natCmp :: Nat -> Nat -> Tri  -- Сравнивает два натуральных числа
natCmp Zero Zero = EQ
natCmp Zero (Succ _) = LT
natCmp (Succ _) Zero = GT
natCmp (Succ n) (Succ m) = natCmp n m

natEq :: Nat -> Nat -> Bool  -- n совпадает с m
natEq Zero     Zero     = True
natEq Zero     (Succ _) = False
natEq (Succ _) Zero     = False
natEq (Succ n) (Succ m) = natEq n m

natLt :: Nat -> Nat -> Bool  -- n меньше m
natLt Zero     Zero     = False
natLt Zero     (Succ m) = True
natLt (Succ n) Zero     = False
natLt (Succ n) (Succ m) = natLt n m

infixl 6 +.  -- Сложение для натуральных чисел
(+.) :: Nat -> Nat -> Nat
Zero     +. m = m
(Succ n) +. m = Succ (n +. m)

infixl 6 -. -- Вычитание для натуральных чисел
(-.) :: Nat -> Nat -> Nat
Zero -. _ = Zero
n -. Zero = n
(Succ n) -. (Succ m) = n -. m

infixl 7 *. -- Умножение для натуральных чисел
(*.) :: Nat -> Nat -> Nat
Zero     *. m = Zero
(Succ n) *. m = m +. (n *. m)

natDivMod :: Nat -> Nat -> Pair Nat Nat -- Целое и остаток от деления n на m
natDivMod n m =
    if (n natLt m)
       then Pair Zero n
       else Pair (Succ div) mod where Pair div mod = ((n -. m) natDivMod m)

natDiv n = fst . natDivMod n -- Целое
natMod n = snd . natDivMod n -- Остаток

Целые числа

data Int = Plus Nat | Minus Nat deriving (Show,Read)

intZero   = Plus Zero
intOne    = Plus (Succ Zero)
intNegOne = Minus (Succ Zero)

intNeg :: Int -> Int
intNeg (Plus x) = Minus x
intNeg (Minus x) = Plus x

intCmp :: Int -> Int -> Tri
intCmp (Plus Zero) (Minus Zero) = EQ
intCmp (Minus Zero) (Plus Zero) = EQ
intCmp (Plus Zero) (Minus (Succ x)) = GT
intCmp (Minus Zero) (Plus (Succ x)) = LT
intCmp (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = GT
intCmp (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = LT
intCmp (Plus x) (Plus y) = natCmp x y
intCmp (Minus x) (Minus y) = natCmp y x

intEq :: Int -> Int -> Bool
intEq (Plus Zero) (Minus Zero) = True
intEq (Minus Zero) (Plus Zero) = True
intEq (Plus Zero) (Minus (Succ x)) = False
intEq (Minus Zero) (Plus (Succ x)) = False
intEq (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = False
intEq (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = False
intEq (Plus x) (Plus y) = natEq x y
intEq (Minus x) (Minus y) = natEq x y

intLt :: Int -> Int -> Bool
intLt (Plus Zero) (Minus Zero) = False
intLt (Minus Zero) (Plus Zero) = False
intLt (Plus Zero) (Minus (Succ x)) = False
intLt (Minus Zero) (Plus (Succ x)) = True
intLt (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = False
intLt (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = True
intLt (Plus x) (Plus y) = natLt x y
intLt (Minus x) (Minus y) = natLt y x

infixl 6 .+., .-.
(.+.) :: Int -> Int -> Int
(Plus m) .+. (Plus n) = Plus (m +. n)
(Minus m) .+. (Minus n) = Minus (m +. n)
(Plus (Succ m)) .+. (Minus (Succ n)) = (Plus m) .+. (Minus n)
(Minus (Succ m)) .+. (Plus (Succ n)) = (Plus n) .+. (Minus m)
x .+. (Plus Zero) = x
x .+. (Minus Zero) = x
(Plus Zero) .+. y = y
(Minus Zero) .+. y = y

(.-.) :: Int -> Int -> Int
n .-. m = n .+. (intNeg m)

infixl 7 .*.
(.*.) :: Int -> Int -> Int
(Plus m) .*. (Plus n) = Plus (m *. n)
(Minus m) .*. (Minus n) = Plus (m *. n)
(Plus m) .*. (Minus n) = Minus (m *. n)
(Minus m) .*. (Plus n) = Minus (m *. n)

Рациональные числа

data Rat = Rat Int Nat

ratNeg :: Rat -> Rat
ratNeg (Rat x y) = Rat (intNeg x) y

ratInv :: Rat -> Rat
ratInv (Rat (Plus x) y) = Rat (Plus y) x
ratInv (Rat (Minus x) y) = Rat (Minus y) x

ratCmp :: Rat -> Rat -> Tri
ratCmp (Rat a b) (Rat c d) = intCmp (a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b))

ratEq :: Rat -> Rat -> Bool
ratEq (Rat a b) (Rat c d) = intEq (a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b))

ratLt :: Rat -> Rat -> Bool
ratLt (Rat a b) (Rat c d) = intEq (a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b))

internalRatPlus :: Rat -> Rat -> Rat
internalRatPlus (Rat a b) (Rat c d) = Rat ((a .*. (Plus d)) .+. (c .*. (Plus b))) (b *. d)

internalRatShorten :: Rat -> Rat
internalRatShorten (Rat (Plus a) b) = Rat (Plus (a /. (gcd a b))) (b /. (gcd a b))
internalRatShorten (Rat (Minus a) b) = Rat (Minus (a /. (gcd a b))) (b /. (gcd a b))

infixl 7 %+, %-
(%+) :: Rat -> Rat -> Rat
n %+ m = internalRatShorten (internalRatPlus n m)

(%-) :: Rat -> Rat -> Rat
n %- m = n %+ (ratNeg m)

infixl 7 %*, %/
(%*) :: Rat -> Rat -> Rat
(Rat a b) %* (Rat c d) = Rat (a .*. c) (b *. d)

(%/) :: Rat -> Rat -> Rat
n %/ m = n %* (ratInv m)

GCD

Тут я не уверен, можем ли использовать natMod или надо дополнительно реализовывать её.
Ещё мы вроде бы не можем использовать дополнительные функции!

gcd :: Nat -> Nat -> Nat
gcd n Zero = n
gcd n m = gcd m (natMod n m)

subsequences

subsequences :: List a -> List (List a)
subsequences Nil = Cons Nil Nil
subsequences (Cons x xs) = subsequences xs ++ (map (Cons x) $ subsequences xs)

permutations

permutations :: List a -> List (List a)
permutations Nil = Nil
permutations (Cons x Nil) = (Cons (Cons x Nil) Nil)
permutations (Cons x xs) = insertAtEveryPosForList (permutations xs) x
	where
	insertAtEveryPos :: List a -> a -> Nat -> List (List a)
	insertAtEveryPos str elem Zero = Cons (insert Zero elem Nil str) Nil
	insertAtEveryPos str elem pos = (insertAtEveryPos str elem (pos -. natOne)) ++ (Cons (insert pos elem Nil str) Nil)

	insertAtEveryPosForList :: List (List a) -> a -> List (List a)
	insertAtEveryPosForList (Cons x Nil) elem = insertAtEveryPos x elem (length x)
	insertAtEveryPosForList (Cons x xs) elem = (insertAtEveryPosForList xs elem) ++ (insertAtEveryPos x elem (length x))

А так же

• Дают тип какого-нибудь foldr и просят написать какой-нибудь foldr.
• Написать определения каких-нибудь тайпклассов.
• Написать какие-нибудь инстансы.
• Доказать эквивалетность каких-нибудь двух определений монады.
• CPS-преобразовать какие-нибудь типы.
• Написать монадные инстансы для CPS-преобразованных типов.