Busy beaver

Поиск усердных бобров(англ. busy beaver) — известная задача в теории вычислимости. Под усердным бобром в теории вычислимости понимают машину Тьюринга с заданным числом состояний конечного автомата, которая будучи запущенной на пустой ленте, записывает на нее максимальное количество ненулевых символов и останавливается.

В данном конспекте будет рассмотрена функция, которая используется в этой задаче для подсчета числа шагов для завершения программы при определенном числе состояний.

Определение:

[math]BB(n)[/math] (англ. busy beaver fuction) — функция от натурального аргумента [math]n[/math] (busy beaver fuction), равная максимальному числу шагов, которое может совершить программа длиной [math]n[/math] символов и затем остановиться.

Утверждение:

[math]BB(n)[/math] растет быстрее любой всюду определенной неубывающей вычислимой функции [math]f(n) : N \rightarrow N [/math], то есть для всех [math]n[/math] кроме конечного числа выполнено [math]BB(n) \gt f(n)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f(n)[/math] представлена своим кодом. Для каждого [math]n[/math] определим программы вида: [math]P_n[/math]: k = {десятичная запись числа n}; f = f(k); for i = 1 to f + 1 do /* шаг программы */; Каждая такая программа делает как минимум [math]f(n) + 1[/math] шагов. Длина [math]P_n[/math] будет равна [math] \lg n + const [/math], где [math]const[/math] — длина кода без десятичной записи [math]n[/math]. Пусть [math]n_0[/math] — решение уравнения [math]\lg n + const = n[/math]. Тогда для всех натуральных [math] n \gt \left \lceil n_0 \right \rceil [/math], в силу неубывания [math]BB(n)[/math], будет выполнено: [math] n \gt len(P_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(P_n)) \gt f = f(n) [/math]. Так как [math]n_0[/math] конечно, то утверждение доказано.

[math]\triangleleft[/math]

Вывод: доказав предыдущее утверждение, мы проверили, что максимальное число шагов, которое может совершить программа и при этом остановиться, на самом деле растет с большей скоростью, чем любая вычислимая функция. Отсюда следует, что [math]BB(n)[/math] невычислима.

См. также

• Вычислимые функции
• Машина Тьюринга

Источники информации

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
• Английская Википедия — Busy_beaver
• Федотов П.В., Царев Ф.Н., Шалыто А.А. — Задача поиска усердных бобров и ее решения