Слово Фибоначчи

Определение:

Строками Фибоначчи (англ. Fibostring) называются строки над алфавитом [math]\Sigma = \{a, b\}[/math], полученные последовательным применением морфизма [math]h[/math]: [math]h(a) = ab[/math] [math]h(b) = a[/math] к строке [math]s = b[/math], т.е. [math]h^*(b)[/math].

Примеры

Первые несколько строк Фибоначчи:

• [math]f_0 = b[/math]
• [math]f_1 = a[/math]
• [math]f_2 = ab[/math]
• [math]f_3 = aba[/math]
• [math]f_4 = abaab[/math]
• [math]f_5 = abaababa[/math]

Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи

Лемма (1):

Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \geqslant 2[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем методом математической индукции. База: При [math]n = 2[/math] [math]f_2=ab=f_1f_0[/math]. Переход: Пусть [math]n \gt 2[/math] и [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}[/math]. [math]f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})[/math]. Так как отображение [math]h[/math] — линейно (т.е. [math]h(xy) = h(x)h(y)[/math]), то можно продолжить равенство: [math]f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Также можно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.

Обобщенная строка Фибоначчи

Начнем обобщение идеи строк Фибоначчи следующим образом. Вместо отдельных символов [math]a[/math] и [math]b[/math] будем оперировать двумя произвольными строками [math]x,y \in \Sigma^{*}[/math]:

• [math]h(x) = xy[/math]
• [math]h(y) = x[/math]

Таким образом "старый" морфизм будет частным случаем "нового" морфизма при [math]x = a[/math] и [math]y = b[/math].

По аналогии можно вычислить [math]h^*(y) = \{y, x, xy, xyx, \ldots\}[/math], и, наконец, определить [math]n[/math]-ую обобщенную строку Фибоначчи как:

Определение:

Обобщенная строка Фибоначчи (англ. generalized Fibostring) имеет вид [math]f_n(x,y) = h^n(y)[/math].

Первые несколько обобщенных строк имеют вид:

• [math]f_0(x,y) = y[/math]
• [math]f_1(x,y) = x[/math]
• [math]f_2(x,y)= xy[/math]
• [math]f_3(x,y)= xyx[/math]
• [math]f_4(x,y) = xyxxy[/math]

А также в общем случае:

• [math]f_n(x,y) = f_{n-1}(x,y)f_{n-2}(x,y)[/math]

Определение:

Определим бесконечную обобщенную строку Фибоначчи [math]f_{\infty}(x,y)[/math] (англ. generalized infinite Fibostring) как строку, содержащую все строки [math]f_n(x,y), n \geqslant 0[/math] в качестве префиксов.

Лемма (2):

[math]f_n = f_{n-k}(f_{k+1},f_k)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]h^n(y) = h^{n-k}(h^k(y))[/math] [math]f_n(x,y) = h^k(f_{n-k}(x,y)) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y)) = f_{n-k}(h^{k+1}(y),h^k(y))[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Например: [math]f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)[/math].

Это равенство работает также для [math]f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(f_{n+1},f_{n}) = f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{n+1} \ldots[/math].

Утверждение (1):

В [math]f_n(x,y)[/math] не может содержаться подстроки [math]x^3[/math] или [math]y^2[/math].

Утверждение (2):

Для любого [math]n[/math] [math]f_nf_{n+1} \neq f_{n+1}f_n[/math].

[math]\triangleright[/math]

Докажем это утверждение методом математической индукции. База. [math]f_0f_1 \neq f_1f_0[/math] Переход. [math]f_nf_{n+1}=f_nf_nf_{n-1}=f_nf_{n-1}f_{n-2}f_{n-1}[/math] [math]f_{n+1}f_n=f_nf_{n-1}f_n=f_nf_{n-1}f_{n-1}f_{n-2}[/math] Но то, что [math] f_{n-2}f_{n-1} \neq f_{n-1}f_{n-2} [/math] было доказано ранее в ходе индукции.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3):

Для любого целого [math]n \geqslant 2[/math] выполняется равенство [math]f^2_n = f_{n+1}f_{n-2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f_{n+1}f_{n-2}=f_{n}f_{n-1}f_{n-2}=f_{n}f_{n}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (4):

Для любого целого [math]n \geqslant 3[/math] строка [math]f_n[/math] имеет бордеры [math]f_i[/math] для [math]i = n-2, n-4,\ldots,2-(n\,\,mod \,\,2)[/math].

Обратный морфизм

Определение:

Обратный морфизм [math]h^{-1}[/math] определяется как отображение: [math]ab \rightarrow a[/math], [math]a \rightarrow a [/math] (если после [math]a[/math] следует [math]b[/math]) или [math] a \rightarrow b[/math] (в противном случае).

Обратный морфизм позволяет из строки [math]f_n[/math] получить строку [math]f_{n-1}[/math].

Связь с задачей о построении исключений

Утверждение (3):

Для любого целого [math]n \geqslant 7[/math] [math]f_n[/math] содержит куб некоторой подстроки.

[math]\triangleright[/math]

Строка [math]f_7 = xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx[/math] содержит подстроку [math]xyxxyxxyx = (xyx)^3 [/math] и является префиксом [math]f_n[/math] для [math]n \geqslant 7[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (1):

Никакая строка [math]f_n[/math] не содержит подстроки кратности [math]4[/math].

Утверждение (4):

Бесконечная строка Фибоначчи [math]f_{\infty}[/math] является решением задачи построения [math](2,4)[/math]-исключения

[math]\triangleright[/math]

Это следует из утверждения и теоремы выше.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Слово Туэ-Морса

Источники

• Билл Смит «Методы и алгоритмы вычислений на строках», издательство «Вильямс», 2006 — стр. 100-107