XOR-SAT

Задача:

[math]\mathrm {XORSAT}[/math] (XOR-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].

Описание

Одним из особых случаев [math]\mathrm {SAT}[/math] является класс задач, где каждый дизъюнкт содержит операции [math]\oplus[/math] (т. е. исключающее или), а не (обычные) [math]\lor[/math] операторы.(Формально, обобщенная КНФ с тернарным булевым оператором R работает только если 1 или 3 переменные дают [math]\mathrm {TRUE}[/math] в своих аргументах. Дизъюнкт,имеющие более 3 переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции(ссылка на книгу ниже), т. е. [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] может быть снижена до [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {3}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math])

Это задача Р-класса,так как [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю 2,которая ,в свою очередь, может быть решена за [math]O(n^3)[/math] методом Гаусса.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом и том факте,что арифметика по модулю 2 образует конечное поле .

Вычислительная сложность

Формула с 2-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный),3-SAT(зелёный),XOR-3-SAT(синий) ,ИЛИ/И 1-in-3-SAT, в зависимости от количества переменных со значением TRUE в 1-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) дизъюнкте.

Поскольку a XOR b XOR c принимает значение TRUE,если и только если 1 из 3 переменных {a,b,c} принимает значение TRUE,каждое решение в 1-in-3-SAT задачи для данной КНФ-формулы является также решением XOR-3-SAT задачи,и ,в свою очередь,обратное также верно. Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить XOR-3-SAT -задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо 3-SAT-задача решаема или, что 1-in-3-SAT-задача нерешаема. При условии ,что P- и NP-классы не равны,ни 2-,ни Хорн-,ни XOR-SAT не являются задачи NP-класса,в отличии от SAT.

См. также

• Специальные формы КНФ
• 2SAT
• NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ

Источники информации

• Википедия — Boolean satisfiability problem
• Cook, Stephen A. (1971). Proceedings of the 3rd Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 151–158.