Теорема Иммермана

Утверждение теоремы

NL = coNL

Доказательство

Решим задачу STNONCON на логарифмической памяти и покажем, что STNONCON ∈ NL.

нет пути из в в графе

Чтобы показать, что STNONCON входит в NL, можно придумать недетерминированый алгоритм, использующий [math]O(\log n)[/math] памяти, который проверяет достижима ли вершина t из s.

Чтобы показать правильность работы алгоритма необходимо показать:

В случае недостижимости t из s недетерминированые выборы приводят алгоритм к единице.
Если t достижима из s, то вне зависимости от недетерминированых выбором, совершаемых алгоритмом, результат ноль.

Определим R_i = {v: существует путь из s в v длиной ≤ i}. Другими словами это множество всех вершин, достижимых из s не более чем за i шагов. Обозначим |R_i| за r_i. Заметим, что если [math]t \notin R_{n-1}[/math], где n = |V|, то не существует путь s в t в графе G, то есть [math]\langle G,s,t\rangle[/math] ∈ STNONCON.

Лемма: Можно построить алгоритм, который по данному r_i будет перечислять все вершины из R_i и удачно завершаться на логарифмической памяти. Если r_i больше истинного размера R_i, то алгоритм завершится неудачно; однако если r_i меньше истинного размера R_i, то алгоритм завершится удачно, но перечислит лишь некое подмножество R_i.


 Enum(s, i, r_i, G)
   counter := 0 //количество уже найденных и выведенных элементов
   for v = 1 .. n do //перебираем все вершины графа
     continue or find path //недетерминировано выбираем переходить к следующей вершине или угадываем путь до данной
     counter++ 
     write v //выводим вершину, до которой угадали путь
     if counter ≥ r_i then //нашли r_i вершин, удачно завершаем работу
       ACCEPT
   REJECT //не нашли r_i вершин

Enum перебирает все вершины на логарифмической памяти и пытается угадать путь до этой вершины из s. Для угадывания пути достаточно [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как необходимо помнить лишь текущую вершину пути и пытаться угадывать следующую. Enum является недетерминированой программой и если существует порядок исполнения, чтобы достичь ACCEPT, то он достигается.

Теперь имея Enum, можно индуктивно находить r_i. Очевидно, что [math]r_0 = 1[/math], так как [math]R_0[/math] содержит единственную вершину s. Пусть известно значение r_i. Напишем программу, которая на логарифмической памяти будет находить r_{i + 1}.


 Next(s, i, r_i, G)
   r := 1 //[math]r_{i+1}[/math] хотя бы один, так как [math]s \in R_{i + 1}[/math]
   for v = 1 .. n; [math]v \neq s[/math] do //перебираем все вершины графа, кроме s -- это кандидаты на попадание в    [math]R_{i + 1}[/math]
     for u : (u,v)∈E do //перебираем все ребра, входящие в v
       Enum(s, i, r_i, G) //перечисляем все вершины из [math]R_i[/math]
       if u in output then //если u одна из них, то [math]v \in R_{i + 1}[/math]
         r++   //увеличиваем количество найденных вершин и переходим к рассмотрению следующего кандидата
         break
   write r

Данный алгоритм изначально учитывает s, а затем перебирает всех возможных кандидатов на попадание в [math]R_{i + 1}[/math]. Для каждого из них перебираются все ребра, в него входящие. Затем перечисляются все вершины из [math]R_i[/math] и, если начало нашего ребра было перечислено, то [math]v \in R_{i + 1}[/math]. Алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так необходимо хранить лишь v, u, r и еще поочередно значения полученные в результате вызова Enum.

Теперь можно написать алгоритм, который будет недетерминировано решать задачу STNONCON на логарифмической памяти. Он будет состоять из двух частей: вычисление [math]r_{n-1}[/math] и перечисление всех вершин из [math]R_{n - 1}[/math]. Вычисление [math]r_{n-1}[/math] происходит путем вызова Next [math]n - 1[/math], при этом каждый раз в качестве [math]r_i[/math] подставляется новое полученное значение.


 NONCON(G, s, t)
   r_n := 1 //[math]r_0[/math]
   for i = 0..n-2 do //Вычисляем [math]r_{n - 1}[/math]
     r_n := Next(s, i, r_n, G)
   Enum(s, n - 1, r_n, G) //Перечисляем вершины из [math]R_{n - 1}[/math]
   if t in output then //Если t была перечислена то t достижима и выдаем REJECT, иначе ACCEPT
     REJECT 
   else
     ACCEPT

Данный алгоритм использует [math]O(\log |G|)[/math] памяти, так как для хранения r_n и i необходимо [math]2\log |G|[/math], а для вызываемых Next и Enum необходимо [math]O(\log |G|)[/math] памяти.

Таким образом показано, что STNONCON ∈ NL.

Теорема Иммермана