Поиск ближайших соседей с помощью иерархического маленького мира

Иерархический маленький мир (англ. Hierarchical Navigable Small World) — структура данных, позволяющая эффективно искать [math]k[/math] почти что ближайших соседей на больших множествах вершин. Поиск ближайших соседей нужен в задачах классификации и кластеризации.

По своей концепции напоминает список с пропусками.

Применение

Представим себе ситуацию:

• У социальной сети есть [math]10^{11}[/math] пользовательских фотографий с отмеченными лицами на них.
• По новой фотографии требуется быстро узнать кто на ней и предложить пользователю отметить этого человека.

Возможный процесс:

1. Обучаем FaceNet выдавать [math]128[/math]-мерные вектора по изображению лица, такие, что у фотографий одного человека похожие значения векторов.
2. Добавляем [math]10^{11}[/math] векторов в иерархический маленький мир.
3. При добавлении новой фотографии, вычисляем соответствующий лицу вектор.
4. Ищем [math]k[/math] его ближайших соседей.
5. Классифицируем лицо с использованием ядер сглаживания.
6. Если пользователь подтвердил нашу догадку, добавляем этот вектор в иерархический маленький мир.

Маленький мир

Жадный поиск ближайшего соседа. Чёрные ребра — короткие связи с соседями в небольшом радиусе [math]R[/math], красные рёбра — длинные связи, созданные по какой-то эвристике, обеспечивающие логарифмическое мат. ожидание длины пути. Оригинал

Маленький мир (англ. Small World) — граф, в котором мат. ожидание кратчайшего пути между двумя случайно выбранными вершинами растёт пропорционально [math]\log{N}[/math]. Но при этом средняя степень вершины мала.

Для маленького мира на точках в Евклидовом пространстве жадный поиск [math]k[/math] ближайших соседей будет выглядеть так:

knn(V, E, request, m, k):
    W = [math]\emptyset[/math]  // Ближайшие к q вершины. 
    C = [math]\emptyset[/math]  // Вершины, которые предстоит посетить. 
    V = [math]\emptyset[/math]  // Посещённые вершины. 
    for i = 1 to m
        C = С [math]\bigcup[/math] [math]random_v[/math] v [math]\in[/math] G
        TN = [math]\emptyset[/math]  // Ближайшие вершины в этом проходе.
        while true
            u = {q1 | [math]\forall[/math] q2 [math]\in[/math] C, |q - q1| <= |q - q2|} // Ближайшая к q вершина из C. 
            C = C [math]\setminus[/math] u
            if u дальше чем k-й элемент W
                break
            for e: (u, e) in G
                if e [math]{\notin}[/math] V
                    C = C [math]\bigcup[/math] e
                    V = V [math]\bigcup[/math] e
                    TN = TN [math]\bigcup[/math] e
        W = W [math]\bigcup[/math] TN
    return k ближайших к q вершин из W

Расстояние между вершинами графа может измеряться различными метриками.
Очевидный недостаток этого алгоритма — опасность свалиться в локальный минимум, остановившись в каком-то кластере. С увеличением числа [math]m[/math], вероятность такого застревания экспоненциально падает.

Описание структуры

Иерархический Маленький мир — слоистая структура графов. На нулевом слое представлены все [math]N[/math] вершин из исходной выборки. Вершина, присутствующая на уровне [math]L[/math] так же присутствует на уровне [math]L + 1[/math] с вероятностью [math]P[/math]. Т.е. кол-во слоёв растет как [math]O(\log N)[/math]. Количество соседей каждой вершины на каждом уровне ограниченно константой, что позволяет делать запросы на добавление и удаление вершины за [math]O(\log N)[/math].

Иерархический маленький мир. Источник

Операции над структурой

Поиск ближайших соседей в слое

Жадно идём по уровню в сторону запроса.

searchLayer(q, ep, ef, layer):
    // Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, входные точки ep, искомое количество ближайших соседей ef, номер слоя layer.
    // Возвращает: ef ближайших соседей q в слое layer.
    W = [math]\{ep\}[/math]  // Ближайшие к q вершины. 
    C = [math]\{ep\}[/math]  // Вершины, которые предстоит посетить. 
    V = [math]\{ep\}[/math]  // Посещённые вершины. 
    while C != [math]\emptyset[/math]
        u = {q1 | [math]\forall[/math] q2 [math]\in[/math] C, |q - q1| <= |q - q2|} // Ближайшая к q вершина из C. 
        f = {q1 | [math]\forall[/math] q2 [math]\in[/math] W, |q - q1| >= |q - q2|} // Самая дальняя от q вершина из W. 
        if |u - q| > |f - q|
            break // Мы в локальном минимуме. 
        for e : (u, e) in G
            if e [math]{\notin}[/math] V
                V = V [math]\bigcup[/math] e
                f = {q1 | [math]\forall[/math] q2 [math]\in[/math] W, |q - q1| >= |q - q2|} // Самая дальняя от q вершина из W. 
                if |e - q| < |f - q| or |W| < ef
                    C = C [math]\bigcup[/math] e
                    W = W [math]\bigcup[/math] e
                    if |W| > ef
                        W = W \ f
    return W

Поиск ближайших соседей во всей структуре

Жадный поиск вершины. Оригинал

1. Идём с верхнего уровня до первого:
   1. Жадно ищем ближайшую к [math]q[/math] вершину на текущем уровне.
   2. Спускаемся в соответствующую соседу вершине на уровень ниже.
2. На нулевом уровне жадно ищем [math]k[/math] ближайших соседей.

knn(hnsw, q, k, ef):
    // Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, искомое количество ближайших соседей  k, количество кандидатов при поиске ef. 
    // Возвращает: k ближайших соседей q. 
    W = [math]\emptyset[/math]  // Ближайшие к q вершины. 
    mL = |hnsw| - 1
    ep = [math]random_v[/math] v [math]\in[/math] hnsw[mL]
    for level = mL to 1
        W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef=1, level) // На каждом уровне, кроме нижнего мы ищем всего одну ближайшую вершину. 
        ep = W
    W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef, lc=0)
    return k ближайших к q вершин из W

Вставка элемента

1. Случайным образом выбираем максимальный слой, на котором будет представлена [math]q[/math].
2. На каждом уровне, где будет представлена [math]q[/math], сверху вниз:
   1. Жадно ищем [math]m[/math] ближайших к [math]q[/math] вершин.
   2. Добавляем связи [math]q[/math] с ними.
   3. Удаляем лишние связи у новообразовавшихся соседей.

insert(hnsw, q, m, mMax, ef, mL):
    // Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос на добавление q, желаемое количество связей m, максимальное количество связей вершины 
    //       на одном слое mMax, количество кандидатов при поиске ef, коэффициент выбора высоты mL. 
    // Возвращает: hnsw с вставленным элементом q. 
    W = [math]\emptyset[/math]  // Ближайшие к q вершины. 
    mL = |hnsw| - 1
    ep = [math]random_v[/math] v [math]\in[/math] hnsw[mL]
    qL = -ln(rand(eps, 1.0)) * mL // Верхний слой для вершины q. 
    for level = mL to qL + 1
        W = searchLayer(q, ep, ef=1, level)
        ep = W
    for level = min(mL, qL) to 0
        W = searchLayer(q, ep, ef, level)
        neighbours = M ближайших к q вершин из W
        for n [math]\in[/math] neighbours:
            // Добавляем двусторонние связи между n и q. 
            hnsw[level] = hnsw[level] [math]\bigcup[/math] (n, q)
            hnsw[level] = hnsw[level] [math]\bigcup[/math] (q, n)
            
            nNeighbours = {v| (v, n) in hnsw[level]} // Ищем всех соседей n на уровне level. 
            // Убираем лишние связи, если требуется. 
            if nNeighbours.Count() > mMax
                // Самая дальняя от n вершина, смежняя с ней. 
                v = {q1 | (q2, n) [math]\in[/math] nNeighbours & [math]\forall[/math]q2 [math]\in[/math] hnsw[level], |q - q1| >= |q - q2|}
                hnsw[level] = hnsw[level] [math]\setminus[/math] (n, v)
                hnsw[level] = hnsw[level] [math]\setminus[/math] (v, n)
        ep = W
    if qL > mL
        for level = mL to qL
            hnsw.append({q, {}})

Практическое использование

В библиотеке Hnswlib есть реализация иерархического маленького мира. Эта библиотека написана на C++, с биндингами на python. Пример использования:

import hnswlib
import numpy as np

dim = 128
num_elements = 10000

# Создаём тестовые данные.
data = np.float32(np.random.random((num_elements, dim)))
data_labels = np.arange(num_elements)

# Создаём иерархический маленький мир в L2.
# Возможные метрики — l2, cosine, ip (L2, косинус угла между векторами, скалярное произведение).
p = hnswlib.Index(space = 'l2', dim = dim)

# Инициализируем структуру.
p.init_index(max_elements = num_elements, ef_construction = 200, M = 16)

# Добавляем данные (можно вызывать много раз).
p.add_items(data, data_labels)

# Настраиваем качество, выставляя ef:
p.set_ef(50) # ef должно быть > k

# Делаем запрос.
# k - количество ближайших вершин
labels, distances = p.knn_query(data, k = 1)

См. также

• Общие понятия
• Метрический классификатор и метод ближайших соседей
• Список с пропусками

Источники информации

• Yu. A. Malkov, D. A. Yashunin — Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs
• Википедия — Мир тесен (граф)
• Wikipedia — Small-world network
• Поиск знаменитостей на фотографии с помощью иерархического маленького мира
• Статья от Mail.ru об использовании иерархического маленького мира