Положительные ряды

Определение

Определение:

Если [math]a_n \geq 0[/math], то ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty[/math] называют положительным.

Например, [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac1n[/math] — положительный ряд. Он называется гармоническим.

Так как [math]S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}[/math], [math]a_{n + 1} \geq 0[/math], то [math]S_n[/math] возрастает. Отсюда вытекает вся прелесть положительных рядов, ибо вопрос сходимости решается теоремой Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности: «Положительный ряд сходится [math]\iff[/math] [math]S_n[/math] ограничены сверху».

Принцип сравнения рядов

Применением этого критерия является так называемый принцип сравнения рядов.

Утверждение:

Пусть [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] и [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k[/math] — положительные ряды. Тогда: [math]a_n \leq b_n[/math], [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k [/math] сходится [math]\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] сходится. [math]\frac{b_n}{a_n} \to q[/math], [math]q \ne 0[/math], [math]q \ne \infty[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \equiv \sum\limits_{k=1}^\infty b_k[/math].

[math]\triangleright[/math]

1. [math]a_n \leq b_n \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k[/math]. Так как ряд [math]\sum b_n[/math] сходится, то, по теореме Вейерштрасса, сумма [math]b_k[/math] ограничена каким-то числом [math]B[/math]. А тогда, [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq B[/math]. Значит, [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] сходится. 2. [math]q \ne 0[/math], [math]q \ne \infty[/math], [math]a_n \geq 0[/math], [math]b_n \geq 0[/math] [math] \Rightarrow [/math] [math]q \gt 0[/math]. Подставим в определение предела [math]\varepsilon = \frac q2[/math]: [math]\exists N\ \forall n \gt N: \ q - \varepsilon \lt \frac{b_n}{a_n} \lt q + \varepsilon[/math] Домножим на большее нуля [math]a_n[/math]: [math]\frac q2 a_n \lt b_n \lt \frac{3q}2 a_n[/math]. Ряды мажорируют друг друга. Значит, по пункту 1, они равносходятся.

[math]\triangleleft[/math]

Критерий Коши

Важный случай возникает, если в положительном ряде слагаемые убывают: [math]a_n \geq a_{n + 1}[/math]. В этой ситуации можно высказать более тонкий критерий сходимости ряда (критерий Коши):

Утверждение:

Пусть дан положительный убывающий ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty 2^k a_{2^k}[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]S_{2^n} = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) + \ldots + (a_{2^{n - 1} + 1} + \ldots + a_{2^n})[/math] В силу убывания последовательности [math]a[/math], внутри скобки самым большим является первое слагаемое, а самым маленьким — последнее. Тогда [math]S_{2^n} \geq 2a_2 + 2a_4 + 4a_8 + \ldots + 2^{n - 1}a_{2^n}[/math]. Если сумму справа домножить на [math]2[/math], получим исследуемую сумму. Значит, из сходимости [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty 2^k a_{2^k}[/math] следует сходимость [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math]. Теперь оценим [math]S_{2^n}[/math] сверху. Если оставлять первые слагаемые, и ещё больше увеличить сумму, брав предыдущее к ним, получим: [math]S_{2^n} \leq 2a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \ldots + 2^{n - 1}a_{2^{n - 1}}[/math] Из этого получаем обратное следствие

[math]\triangleleft[/math]

Применим этот критерий для исследования ряда [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac1{n^p}[/math], [math]p \gt 0[/math].

При [math]p = 1[/math] получаем гармонический ряд.

[math]a_n = \frac1{n^p}[/math] убывает.

[math]2^na_{2^n} = 2^n \frac1{2^{np}} = \left(\frac1{2^p - 1}\right)^n[/math].

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty 2^n a_{2^n} =[/math] [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty \left(\frac1{2^{p-1}}\right)^n =[/math] [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty q^n[/math]

По формуле суммы геометрицеской прогрессии, [math]S_n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}[/math]

Значит, ([math]S_n[/math] сходится [math]\iff[/math] [math]q^{n + 1} \to 0[/math]) [math]\Rightarrow[/math] [math]q \in (0; 1)[/math].

В частности, гармончиеский ряд расходится.

Сравнение ряда с геометрической прогрессией

На основе сравнения рядов можно получать принципы их сходимости, то есть теоремы, в которых формируется условие на поведение слагаемых ряда, гарантирующих его сходимость.

Теорема:

Пусть [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] — положительный ряд. Если [math]\frac{a_{n + 1}}{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q[/math], то при [math]q \lt 1[/math] ряд сходится, при [math]q \gt 1[/math] ряд расходится, при [math]q = 1[/math] возможны оба варианта.(признак Даламбера) Пусть [math]\sqrt[n]{a_n} \xrightarrow[n \to \infty] q[/math]. Тогда выполняются такие же соотношения, что и в пункте 1.(Радикальный признак Коши)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Будем руководствоваться тем, что поведение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда. 1.1. [math]q \lt 1[/math]. [math]\exists \varepsilon_0:\ q + \varepsilon_0 \lt 1[/math] По определению предела [math]\exists N\ \forall n \gt N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n} \lt q + \varepsilon_0[/math] Выпишем эти неравенства с [math]n \in [N; m][/math] и перемножим их: [math]\frac{a_{m + 1}}{a_N} \lt (q + \varepsilon_0)^{m - N + 1}[/math]. [math]a_m \lt a_N (q + \varepsilon_0)^{-N} (q + \varepsilon_0)^m[/math] Значит, интересующий нас ряд мажорируется бесконечной убывающей прогрессией. Значит, по правилу сравнения, он сходится 1.2. [math]q \gt 1[/math]. [math]\exists \varepsilon_0:\ q - \varepsilon_0 \gt 1[/math]. [math]\exists N\ \forall n \gt N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n} \gt q - \varepsilon_0 \gt 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]a_{n + 1} \gt a_n)[/math] Последовательность возрастает. Ряд расходится. 2. Полностью копирует пункт 1. [math]q \lt 1:\ \exists N\ \forall n\gt N:\ \sqrt[n]{a_n} \lt q + \varepsilon_0 \lt 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]a_n \lt (q + \varepsilon_0)^n[/math]. Ряд мажорируется бесконечной убывающей прогресией.

[math]\triangleleft[/math]

Интегральный признак Коши

Утверждение:

Пусть при [math]x \geq 1[/math] определена функция [math]y = f(x)[/math], [math]y[/math] убывает, [math]y \geq 0[/math]. Тогда [math]\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x \in [n; n + 1][/math]. Тогда, в силу убывания функции, [math]f(n) \geq f(x) \geq f(n + 1)[/math]. Так как функция убывает, определённый интеграл существует. Проинтегрируем и воспользуемся тем, что [math]\Delta x_k = 1[/math]: [math]f(n) \geq \int\limits_n^{n+1}f(x) dx \geq f(n + 1)[/math]. Просуммируем начиная с [math]n = 1[/math]. [math]\sum\limits_{k = 1}^n f(k) \geq \int\limits_1^{n + 1} f(x) dx \geq \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} f(k)[/math] Сходимость несобственного интеграла с положительной функцией определяется теоремой Вейерштрасса о монотонности функции, всё сводится к ограниченности [math]\int\limits_1^A f(x) dx[/math], но по [math]A[/math] они возрастают [math]\Rightarrow[/math] всё сводится к ограниченности [math]\int\limits_1^{n + 1}[/math]. Но установленное неравенство показывает, что их ограниченность равносильна ограниченности частичных сумм [math]f(k)[/math]. Значит, ряд и интеграл равносходятся.

[math]\triangleleft[/math]

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac1{n \ln n}[/math]. [math]f(x) = \frac1{x \ln x}[/math]

[math]\int f(x) = \int \frac1{\ln n} d \ln x = \ln \ln x[/math]

Значит, по интегральному признаку Коши, даже добавление логарифма в знаменатель не помогло гармоническому ряду стать сходящимся. И ничто ему не поможет!