Теоретический минимум по математическому анализу за 1 семестр

1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых множеств.

Пусть [math]A [/math] и [math]B [/math] — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math], то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

2. Принцип вложенных отрезков.

Определение:

Пусть дана система отрезков: [math] a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] [/math] [math] \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math] Тогда эта система отрезков называется вложенной.

3. Определение предела последовательности.

Определение:

Число [math] a \in \mathbb R [/math] называется пределом последовательности [math] a_n [/math], если: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math] Записывают: [math] a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/math]

4. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] a_n \uparrow [/math] и [math] a_n [/math] ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если [math] a_n \downarrow [/math], [math] a_n [/math] — ограничена снизу).

5. Число е.

[math] \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n [/math]. Его обозначают числом [math] e [/math].

6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема (Больцано):

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

7. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.

Теорема (Коши):

Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.

8. Определение МП, открытые и замкнутые множества в МП.

Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, пусть [math]\ \ r \in \mathbb{R},\ r \gt 0,\ a \in X [/math], тогда открытый шар радиуса [math]\ r\ [/math] в точке [math]\ a\ [/math] — это множество [math] V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) \lt r \} [/math]

Определение:

Множество [math] G \subset X [/math] называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров). [math] \tau [/math] — класс открытых множеств. [math] \tau = \{ G [/math] — открытые в МП [math](X, \rho) \}[/math]

Определение:

Множество [math]F[/math] называется замкнутым в МП[math](X, \rho)[/math], если [math] \overline F = X \backslash F [/math] — открыто.

9. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.

Определение:

Множество ограниченное, если его можно поместить в шар.

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math].

Утверждение:

Легко видеть что если K — компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math]— полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

10. Предел отображения в МП.

Определение:

[math] x_n \rightarrow x [/math] в МП [math](X, \rho)[/math], если: [math]\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ [/math] , или [math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N \Rightarrow \rho(x_n, x) \lt \varepsilon [/math] или [math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N: x_n \in V_\varepsilon(x)[/math], где [math] V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) \lt \varepsilon \} [/math], то есть открытый шар радиуса [math]\ \varepsilon[/math] с центром в точке [math]\ x[/math]

11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Теорема (Кантор):

Пусть даны МП [math] (X, \rho), (Y, \rho)[/math], [math] K \subset X[/math] - компакт, [math] f: K \rightarrow Y [/math] - непрерывное отображение. Тогда [math] f [/math] также и равномерно непрерывное на [math] K [/math].

12. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] f: K \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на компакте [math] K [/math]. Тогда существуют такие [math] x_1, x_2 [/math], что [math] f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f [/math].

13. Теорема Коши о промежуточных значениях.

Теорема (Коши, о промежуточных значениях функции):

Пусть [math] f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на [math] [a; b], f(a) = A, f(b) = B[/math], для определенности считаем, что [math] A \lt B [/math]. Тогда [math] \forall D: A \lt D \lt B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D [/math].

14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.

Определение:

[math]f[/math] — дифференцируема в точке [math]x[/math], если [math]\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)[/math], где [math]o(\Delta x)[/math] — такая величина, что [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math]. Тогда [math]A(x)\Delta x[/math] называют дифференциалом в точке [math]x[/math]. Также обозначают [math]A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy[/math].

Утверждение:

Функция дифференцируема [math]\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Если функция дифференцируема, то [math]\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math], где [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math] — бесконечно малая.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

15. Производная сложной функции.

Теорема (Дифференцирование сложной функции):

Пусть [math]y = f(x)[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math], [math]y_0 = f(x_0)[/math]. Пусть [math]z = g(y)[/math] дифференцируема в [math]y_0[/math]. Тогда в некоторой окрестности [math]x_0[/math] корректно определена сложная функция [math]z = g(f(x))[/math] и её производная равна [math]z' = g'(y_0)f'(x_0)[/math].

16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.

Теорема (Ферма):

Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] — точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math]

17. Теорема Ролля о нулях производной.

Теорема (Ролль):

Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math], дифференцируема на [math](a, b)[/math] и [math]f(a) = f(b)[/math]. Тогда существует точка [math] c \in (a; b)[/math], такая, что [math] f'(c) = 0[/math].

18. Формула конечных приращений Лагранжа.

Теорема (Лагранж):

Пусть [math] f [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math] и дифференцируема на [math] (a; b) [/math]. Тогда [math] \exists c \in (a; b): [/math] [math] \frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/math] [math] = f'(c) [/math]

19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя):

Если при [math]x \rightarrow a[/math] [math]\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} [/math], то [math] \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} [/math]

20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.

Теорема (Лагранж):

Пусть [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема в окрестности точки [math]x_0[/math]. Тогда [math]\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)[/math] [math]= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} [/math] [math]c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)[/math] [math]f(x)[/math] — формула Тейлора с остатком по Лагранжу.

21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.

Определение:

Фундаментальные полиномы [math]\Phi_j(x)[/math] степени не выше [math]n[/math] — полиномы, отвечающие заданной системе узлов [math]x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n[/math] такие, что [math] \Phi_j(x_k) = \left\{ \begin{aligned} 1 & ,\quad k = j\\ 0 & ,\quad k \ne j\\ \end{aligned}\right. [/math].

Для его построения обозначим за [math]\omega_n(x) = \prod\limits_{j = 0}^n (x - x_j)[/math]. Это полином степени [math]n + 1[/math].

Обозначим [math]L_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x)[/math].

[math]L_n(x_k) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x_k) = y_k \Phi_k(x_k) = y_k[/math].

Теорема (Лагранжа):

Пусть [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема на [math]\langle a; b\rangle[/math]. На этом промежутке задана система узлов. Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство [math]f(x) = L_n(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)[/math], где [math]c_x[/math] — некоторая точка из [math]\langle a; b \rangle[/math], зависящая от [math]x[/math].

22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.

Определение:

Пусть функция [math]f(x)[/math] задана на [math][a; b][/math]. Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если [math]\forall x_1, x_2 \in [a; b] \forall \alpha \in [0; 1] \quad \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) \leq f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2)[/math]. Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз.

В силу того, что было сказано о выпуклой комбинации, определение корректно: [math]\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 \in [a; b][/math]. Геометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.

Теорема (Неравенство Йенсена):

Пусть [math]f(x)[/math] выпукла вверх на [math][a; b][/math]. Тогда [math]\forall x_1, x_2 \ldots x_n \in [a; b][/math] и их выпуклой комбинации выполнено неравенство [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k f(x_k) \leq f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k\right)[/math].

23. Неравенство Гельдера для сумм.

Теорема (Гёльдера):

Пусть [math]a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \gt 1[/math], [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math] Тогда [math] \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q} [/math]

24. Неравенство Минковского для сумм.

Теорема (Минковского):

Пусть снова [math]a_1; a_2 \ldots a_n \gt 0[/math], [math]b_1; b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \ge 1[/math]. Тогда [math] \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} [/math]

25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Утверждение:

Пусть имеется семейство выпуклых функций [math]F_\alpha(t), \alpha \in A[/math]. Тогда [math]f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)[/math] — также выпуклая функция.

Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):

Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такая, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)[/math]

26. Полиномы и теорема Бернштейна.

Существует ли [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] некоторый полином [math]P[/math] (неважно, какой степени) такой, что [math]\forall x \in [a; b]: \ |f(x) - P(x)| \lt \varepsilon[/math]?

Теорема (Бернштейн):

Пусть функция [math]f[/math] - непрерывна на [math][0; 1][/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists P(x)[/math] - полином, такой, что [math]\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| \lt \varepsilon[/math]

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a; b][/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon[/math]

27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям.

Линейность - интеграл суммы функций, произведения на число.

Пусть имеется функция [math]y = f(x)[/math], заданная на [math][a; b][/math]. Требуется найти функцию [math]F(x)[/math], такую, что [math]F'(x) = f(x) \forall x \in [a; b][/math]. Любая такая функция называется первообразной [math]f[/math].

Утверждение:

Если [math]F_1' = f, F_2' = f[/math], то [math]F_2 = F_1 + \mathrm{const}[/math]

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]g(x) = F_2(x) - F_1(x)[/math]. [math]F_1, F_2[/math] непрерывны, следовательно, непрерывна и [math]g[/math], и можно применить теорему Лагранжа: [math]g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)[/math], но [math]g' = F_2' - F_1' = 0[/math]. Таким образом, [math]g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b][/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math]f[/math] задана на [math][a; b][/math]. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:

[math]\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}[/math]

Интегрирование по частям - [math]\int udv = uv - \int vdu[/math]

Формула подстановки

[math] F(x) = \int f(x)dx [/math]

[math] x = \varphi(t) [/math]

[math] F(x) = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt [/math]

28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.

Определение:

Пусть [math]\overline{x_k}[/math] — произвольное [math]x[/math] из [math]\left [ x_k,x_{k+1} \right ][/math], [math]f[/math] — функция, заданная на отрезке [math][a; b][/math], [math]\tau[/math] — разбиение отрезка [math][a; b][/math]. Тогда [math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math] называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].

Необхомдимое условие интегрируемости - функция является ограниченной.

29. Критерий интегрируемости по Риману.

Пусть [math]\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \leq 0[/math]

[math]\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to 0 \Rightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : \ \operatorname{rang} \tau \lt \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) \lt \varepsilon[/math]

Определим [math]\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)[/math]

[math]I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)[/math]

Теорема (Критерий интегрируемости):

[math]f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0[/math]

30. Теорема Барроу.

{{Определение |definition= Объектом исследования этого параграфа является [math]F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt[/math], [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math], [math]x \in [a, b][/math]. Такая функция называется интегралом с переменным верхним пределом'

Теорема (Барроу):

Пусть [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math] и непрерывна в [math]x_0 \in (a; b)[/math]. Тогда [math]F[/math] дифференцируема в этой точке и её производная равна [math]F'(x_0) = f(x_0)[/math].

31. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема (формула Ньютона-Лейбница):

Пусть [math]F[/math] дифференцируема на [math][a; b][/math], её производная [math]f[/math] интегрируема на этом же отрезке. Тогда [math]F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx[/math]

32. Критерий сходимости несобственных интегралов.

Пусть [math]F(A) = \int\limits_a^A f(x) dx[/math]. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла: [math]\int\limits_a^{+\infty}[/math] сходится [math]\iff \lim\limits_{A, B \to +\infty} \int\limits_A^B f(x)dx = 0[/math].

33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.

Утверждение:

Пусть в окрестности точки [math]x_0[/math] функция [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема и её [math](n + 1)[/math]-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки [math]x_0[/math] [math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt[/math].

34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.

Классический способ суммирования: [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math] — частичные суммы ряда.

Определение:

[math]\lim\limits_{n\to\infty} S_n[/math] — сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе — расходящийся.

{{Утверждение |statement= Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое |proof= Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] — сходится [math]\iff[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0[/math].

35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.

Утверждение:

Пусть при [math]x \geq 1[/math] определена функция [math]y = f(x)[/math], [math]y[/math] убывает, [math]y \geq 0[/math]. Тогда [math]\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)[/math].

36. Ряды и теорема Лейбница.

Определение:

Знакочередующийся ряд, в котором [math]a_n[/math] убывает и [math]a_n[/math] стремится к нулю — ряд Лейбница

Теорема (Лейбниц):

1. Любой ряд Лейбница сходится. 2. Для остатка такого ряда справедлива оценка [math]|R_n| \leq |a_{n + 1}|[/math].

37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.

Теорема (Мертенс):

Пусть ряд из [math]a_n[/math] — абсолютно сходящийся, а ряд из [math]b_n[/math] — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.