Предел отображения в метрическом пространстве

Эта статья находится в разработке!

Подмножества метрического пространства

Если [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, то [math]\forall\ Y \subset X : (Y, \rho)[/math], очевидно, тоже метрическое пространство.

Окрестность точки в метрическом пространстве

Определение:

Пусть [math]x \in A[/math]. Тогда [math]A[/math] — окрестность точки [math]x[/math], если существует открытый шар [math]V: x \in V \subset A [/math]. При этом [math]A \backslash x[/math] называется проколотой окрестностью точки [math]x[/math].

Окрестность точки [math]x[/math] обозначается как [math]O(x)[/math], ее проколотая окрестность — [math]\dot{O}(x)[/math].

Примеры

• Любой открытый шар [math] V_r(x) [/math] является окрестностью точки [math]x[/math].

• Числовая прямая — окрестность любого числа.

Предельная точка

Определение:

Рассмотрим [math]A \subset X[/math]. Тогда [math]b \in X[/math] — предельная точка для [math]A[/math], если в любой окрестности [math]O(b)[/math] содержится бесконечное число точек, принадлежащих [math]A[/math].

Пример(ы)

1. [math] X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A[/math], [math]0[/math] — предельная точка(как и [math]1[/math], например).

Предел отображения

Определение:

Пусть даны два метрических пространства [math] (X,\rho) [/math] и [math] (Y, \tilde \rho) [/math], [math] A \subset X[/math] и [math]\ a [/math] — предельная точка [math]A[/math]. Пусть [math] f: A \rightarrow Y [/math]. Тогда [math] b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y[/math] , если [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho(x, a) \lt \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) \lt \varepsilon [/math].

Так как [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа точек [math] x \in A[/math]. Отметим: если [math]a \in A[/math], то [math]f(a)[/math] нас не интересует.

Пример(ы)

[math]X = Y = \mathbb R, f: (a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a[/math] — предельная точка. Тогда [math] \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - b| \lt \varepsilon [/math].

Определение:

Если при [math]a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)[/math], тогда говорят, что отображение [math]f[/math] непрерывно в точке [math]a[/math].

Предел сложного отображения

Если [math]f[/math] имеет предел, то в ситуации общих МП:

Теорема (предел сложного отображения):

Пусть даны 3 МП: [math] X, Y, Z[/math], у каждого своя метрика; [math] A \subset X,\ B \subset Y[/math]. Пусть также заданы отображения [math]f: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z [/math] [math] (f(x) \ne b \forall x \in A) [/math] [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], [math]b[/math] — предельная точка B, при этом: [math] b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) [/math] Пусть [math]z(x) = g(f(x)) [/math] Тогда утверждается, что [math] \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d [/math]. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta_1 \gt 0 : 0 \lt \bar \rho (y, b) \lt \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) \lt \varepsilon \\ \forall \delta_1 \gt 0 \, \exists \delta \gt 0 : 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math] [math]f(x) \ne b \Rightarrow 0 \lt \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math], а тогда [math]y = f(x) [/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) \lt \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d [/math]( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции)

[math]\triangleleft[/math]

Итак, сложная фукнция от двух непрерывных — непрерывна.

Некоторые непрерывные отображения

Теорема:

Пусть задана [math] f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a) [/math] Проверим, что [math] \forall x_0\ f(x_0) [/math] - непрерывное отображение.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника: [math] \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1)[/math] [math] \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2)[/math] Отсюда, [math] |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \le \rho(x_2, x_1) [/math]. [math] f(x_2) = \rho(x_2, a), f(x_1) = \rho(x_1, a)[/math], значит, [math] |f(x_2) - f(x_1)| \le \rho(x_2, x_1) [/math] Полагаем в этом неравенстве [math] x_1 = x, x_2 = x_0 [/math] и обращаемся к определению непрерывного отображения: [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta: 0 \lt \rho(x, x_0) \lt \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] Из неравенства напрямую следует, что условие выполняется при [math] \delta = \varepsilon[/math], поэтому [math] \forall x_0 \Rightarrow f(x_0) [/math] непрерывна.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a) [/math] - расстояние от x до A.

Теорема:

[math] \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) [/math] - непрерывна.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) [/math] По определению нижней грани, [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) \lt \rho(x, A) + \varepsilon[/math], значит, [math]f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) [/math]. Делая предельный переход при [math] \varepsilon \rightarrow 0[/math], получаем неравенство [math] f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) [/math]. Аналогично, [math] f(x_2) \le \rho(x_1, A) + \rho(x_1, x_2) [/math]. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть F - замкнуто. Тогда [math]x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow [/math]: [math] \rho(x, F) = \inf\limits_{a \in F} \rho(x, a) [/math]. Но [math] x \in F[/math], а [math] \rho(x, x) = 0 [/math], по определению [math] \rho \gt = 0 [/math], значит, [math] \rho(x, F) = 0, [/math] [math] \Leftarrow [/math]: Пусть [math] x \notin F [/math], тогда [math]x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})[/math]. Значит, [math] x \in V_r(y) [/math] и [math] \rho(x, y) \lt r[/math], [math] F \bigcap V = \varnothing[/math]. Но, так как [math]\rho(x, F) = 0[/math], то [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) \lt \varepsilon[/math]. По неравенству треугольника, [math] \rho(y, a) \lt \rho(y, x) + \rho(x, a) \lt r + \varepsilon [/math]. При [math]\varepsilon \rightarrow 0[/math] получаем, что [math] \rho(y, a) \lt r [/math], значит, точка [math] a [/math] принадлежит открытому шару, значит [math] F \bigcap V \ne \varnothing[/math], получили противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о нормальности МП):

Любое МП - нормальное. Пусть [math] (X, \rho) [/math] - МП. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2[/math] - замкнутые [math] \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее). [math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math] [math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (топологическое определение непрерывности):

Пусть у нас есть [math] f :(X, \rho) \to (Y, \rho), [/math] тогда [math] f [/math] - непрерывная [math] \iff [/math] прообраз любого открытого множества открыт.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1.Докажем в одну сторону Рассмотрим открытое множество G в У. Рассмотрим произвольную точку f(p) из G. Так как G открытое то [math] \exists \varepsilon \gt 0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G [/math] По непрерывности [math] \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) [/math] Подберем такое [math] \delta [/math] Из выше сказанного следует что [math] V_\delta(p) \in f^-1(p) [/math]. [math] \delta [/math] можно найти для любого p значит прообраз открыт

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.

Свойства непрерывных отображений. Определение компакта

Определение:

Множество ограниченное, если его можно поместить в шар.

1)

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] — МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math].

[math] [a, b] [/math] на [math] \mathbb{R} [/math] - классический пример.

Утверждение:

Легко видеть что если K — компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.

[math]\triangleright[/math]

Докажем от противного. Предположим, что K неограниченное. То есть [math] \forall x \in K, \forall\varepsilon \gt 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) \gt \varepsilon[/math]. Тогда мы можем построить последовательность из таких точек [math]x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) \gt \varepsilon[/math]. Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К — компакт, получили противоречие с определением компакта. То, что K — замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.

[math]\triangleleft[/math]

2)

Определение:

[math] A \in X [/math] является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с [math]A[/math] множеств [math] G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) [/math]

Например, любой промежуток на R - связное множество.

Теорема (свойство связанного множества на вещественной оси):

Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках. Пусть A - связное в R. Пусть [math] a, b \in A [/math]. Если [math] \forall c \in (a, b): c \in A [/math], свойство верно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] G_1 \cup G_2 = R \backslash \{c\}, c \in A. A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) \Rightarrow A [/math] не связно, получили противоречие, [math] c \in A [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Эти классы определены, т.к:

Теорема:

Пусть K - компакт в [math] (X, \rho); f: K \rightarrow (Y, \rho'), f [/math] — непрерывное отображение. Тогда [math]f(K) [/math] - компакт в [math] (Y, \rho') [/math] (непрерывный образ компакта — компакт).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K [/math]. [math] \exists x_{n_k} \rightarrow x \in K [/math]. По непрерывности [math] f(K): y_{n_k} = f(x_{n_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Равномерно непрерывные отображения

Определение:

Пусть заданы МП: [math] (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X[/math]. Тогда [math] f: E -\gt Y[/math] — равномерно непрерывное отображение, если [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \forall x{'}, x{''} \in E:\ \rho(x{'}, x{''}) \lt \delta \Rightarrow \rho'(f(x{'}), f(x{''})) \lt \varepsilon[/math]

Теорема:

Отображение, равномерно непрерывное на [math] E [/math], непрерывно в любой точке [math] a [/math] множества [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Достаточно положить [math] x = x{'}, a = x{''} [/math], тогда отображение будет непрерывным по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: обратное в общем случае неверно.

Например, пусть [math] X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)[/math] - непрерывная функция.

Положим [math] x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} [/math]. Тогда [math] |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 [/math], но [math] |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 [/math], значит, [math] f(x) [/math] - не равномерно непрерывное отображение.

Теорема (Кантор):

Пусть даны МП [math] (X, \rho), (Y, \rho)[/math], [math] K \subset X[/math] - компакт, [math] f: K \rightarrow Y [/math] - непрерывное отображение. Тогда [math] f [/math] также и равномерно непрерывное на [math] K [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0~ \, \forall \delta \gt 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) \lt \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0; [/math] Рассмотрим:[math] \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}}, {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})\lt \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}[/math] т.к. K — компакт, т.е. в послед [math]{x}'_{n}[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую [math]\frac{1}{{n}'_{k}}[/math]следовательно стремящуюся к нулю. [math]{x}'_{n_{k}} \rightarrow x\in K[/math] [math]\rho ({x}''_{n_{k}},x)\lt \rho ({x}''_{n_{k}},{x}'_{n_{k}}) + \rho ({x}'_{n_{k}},x) \rightarrow 0[/math] [math]{x}''_{n_{k}}\rightarrow x[/math] т.к. f — непрерывна на K, из получаем [math]f({x}'_{n_{k}})\rightarrow f(x)[/math], значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.

[math]\triangleleft[/math]

Частный случай: [math][a,b]\subset \mathbb{R}, f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/math]

по т. Кантора f — равномерно и непрерывна на [math][a,b][/math] т.е.

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \left | \bigtriangleup x \right | \lt \delta ; x, x+ \bigtriangleup x \in [a,b] \rightarrow \left | f(x+ \bigtriangleup x)-f(x) \right |\lt \varepsilon [/math]

Теорема:

Непрерывный образ связного множества связен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

A — связно в X, f(a) — непрерывный образ, [math] \sqsupset f(A) [/math] — не связно [math]\Rightarrow G_{1}\cap G_{2} = \varnothing [/math] в Y [math]; G_{1}\cap G_{2} [/math] - открытые множества [math]f(A)\subset G_{1}\cup G_{2}[/math] [math]A\subset f^{-1}(G_{1})\cup f^{-1}(G_{2})[/math] прообразы открытых множеств открыты, оба они входят в A, а значит A — не связно — противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Коши, о промежуточных значениях функции):

Пусть [math] f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на [math] [a; b], f(a) = A, f(b) = B[/math], для определенности считаем, что [math] A \lt B [/math]. Тогда [math] \forall D: A \lt D \lt B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]\,g(x)=f(x)-C.[/math] Она непрерывна на отрезке [math]\,[a,b][/math] и [math]\,g(a)\lt 0[/math], [math]\,g(b)\gt 0.[/math] Покажем, что существует такая точка [math]\,c\in [a,b][/math], что [math]\,g(c)=0.[/math] Разделим отрезок [math]\,[a,b][/math] точкой [math]\,x_0[/math] на два равных по длине отрезка, тогда либо [math]\,g(x_0)=0[/math] и нужная точка [math]\,c=x_0[/math] найдена, либо [math]g(x_0)\neq 0[/math] и тогда на концах одного из полученных промежутков функция [math]\,g(x)[/math] принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок [math]\,[a_1,b_1][/math], разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке [math]\,c[/math], либо получим последовательность вложенных отрезков [math]\,[a_n,b_n][/math] по длине стремящихся к нулю и таких, что [math]\,g(a_n)\lt 0\lt g(b_n).[/math] Пусть [math]\,c[/math] - общая точка всех отрезков [math]\,[a_n,b_n][/math], [math]\,n=1,2,...[/math] Тогда [math]c=\lim a_n=\lim b_n,[/math] и в силу непрерывности функции [math]\,g(x):[/math] [math]g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n).[/math] Поскольку [math]\lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n),[/math] получим, что [math]\,g(c)=0.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] f: K \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на компакте [math] K [/math]. Тогда существуют такие [math] x_1, x_2 [/math], что [math] f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f(x)[/math] — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте [math]A[/math]), [math]M = \sup_A f[/math]. Возьмём последовательность чисел [math]a_m[/math] таких, что [math]\lim a_m = M[/math] и [math]a_m \lt M[/math]. Для каждого [math]m[/math] найдётся точка [math]x_m[/math], такая что [math]a_m \lt f(x_m)[/math]. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности [math]x_m[/math] можно выделить сходящуюся последовательность [math]\{x_{m_k}\}[/math], предел которой лежит в [math]A[/math]. Для любого [math]x_m[/math] справедливо [math]a_m \lt f(x_{m_k}) \lt M[/math], поэтому, применяя предельный переход, получаем [math]\lim f(x_{m_k}) = M[/math] и в силу непрерывности функции существует точка [math]x_0[/math] такая, что [math]\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)[/math] и, следовательно [math]M = f(x_0)[/math]. Таким образом функция [math]f(x)[/math] ограничена и достигает своей верхней грани при [math]x = x_0[/math]. Аналогично и для нижней грани.

[math]\triangleleft[/math]