| Определение: |
| Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~A\colon X \to Y[/math]. [math]A[/math] называется линейным оператором, если [math]A \left ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha A \left ( x \right )+\beta A \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math] |
Из того факта, что [math]A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )[/math], следует, что [math]\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left ( 0 \right )=0[/math].
| Определение: |
| Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math] |
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:
| Определение: |
| Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( x+mathcal{4}x \right )=A\left (x \right ) [/math] |
В силу линейности непрерывность оператора в точке [math]x[/math] совпадает с его непрерывностью в точке [math]0[/math]. Доказательство:
[math] \vartriangleright [/math] Пусть [math] \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0[/math]
[math] \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 [/math]
[math]A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft[/math]
