Теорема о компактности сопряжённого оператора

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Пусть [math]A[/math] является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор [math]A^*[/math] также является компактным.

Доказательство теоремы

Итак, рассмотрим оператор [math]A^*: F^* \to E^*[/math]. По определению сопряженного оператора, если [math]\phi \in F^*[/math], то [math]A^*\phi = \phi A[/math]. Будем последовательны.

1. Для доказательства необходимо показать, что множество [math]\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}[/math] будет относительно компактно в [math]E^*[/math]. Для этого надо показать, что если взята последовательность [math]\{\phi_n\}[/math] такая, что [math]\|\phi_n\| \le 1\[/math], то можно выбрать [math]\{\phi_{n_k}\}[/math] такую, что [math]A^*\phi_{n_k}[/math] сходится в [math]E^*[/math].

2. Рассмотрим в [math]E[/math] единичный замкнутый шар [math]\overline{V}[/math]. По компактности оператора [math]K = Cl(A(\overline{V})) \subset F[/math] будет метрическим компактом. Рассмотрим сужение функционалов [math]\phi_n[/math] на [math]K[/math].

3. Докажем равностепенную непрерывность этой последовательности: рассмотрим [math]y, z \in K[/math]. Норма

[math]\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|[/math]

не зависит от [math]n[/math], а следовательно [math]\{\phi_n\}[/math] равностепенно непрерывна.

4. Выполняется и равномерная ограниченность последовательности. Для любого [math]y \in K[/math]:

[math]\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const[/math].

5. Таким образом [math]\{\phi_n\}[/math] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] в [math]K[/math].

Для доказательства теоремы осталось показать, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] сходится в [math]E^*[/math]. Для этого достаточно выяснить, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] равномерно сходится (при устремлении [math]m[/math] к бесконечности) на [math]\overline{V}[/math].

6. Рассмотрим [math]\varepsilon \gt 0[/math]. По равномерной сходимости [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] на [math]K[/math]: [math]\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon[/math].

7. Следовательно, для любого [math]x \in \overline{V}[/math] верно [math]\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon[/math]. Замечая, что [math]\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)[/math], приходим к равномерной сходимости [math]A^*\phi_{n_m}[/math] на [math]\overline{V}[/math].

Таким образом, теорема доказана.