Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы
НЕТ ВОЙНЕ |
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России |
Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению. |
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки. |
Смежные классы
Левым смежным классом группы
по множеству назовем множество вида Аналогично определяется и правый смежный класс . Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.Теорема: Левые смежные классы
по подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса
и с общим элементом . Докажем, что . Пусть принадлежит . Известно: . Тогда , поскольку . Значит, . Аналогично .Теорема Лагранжа
Теорема (Лагранж): |
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы |
Доказательство: |
Пусть | - конечная группа, а - ее подгруппа. Любой элемент входит в некоторый смежный класс по ( входит в ). Мощность каждого класса равна , т.к. отображение биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что делится на .
Следствие:
. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу : ее порядок равен порядку элемента , но .Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве
группу , получаем при :
Нормальные подгруппы
Подгруппа
группы называется нормальной подгруппой, если для любых выполнено . Т.е.:
Факторгруппа
Рассмотрим группу
и ее нормальную подгруппу . Пусть - множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .
Таким образом, фактормножество
образует подгруппу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к - .