Порядок элемента группы

Определение:

Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.

Примеры

• Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
• Порядок элемента [math]\overline{2}[/math] в группе вычетов по модулю [math]4[/math] конечен и равен двум, поскольку [math]2+2 \equiv 0 \pmod 4[/math].

Свойства

Утверждение:

В конечной группе у всех элементов конечный порядок.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math] (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]p[/math]-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа [math]p[/math]. Порядок разных элементов может быть разным.

Примеры

• Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}[/math].
• Циклическая группа порядка [math]p^e[/math].