Встречное дерево Фенвика

Определение:

Встречное дерево Фенвика (англ. counter tree Fenwick) — дерево Фенвика, в котором над каждым столбцом идет столбец такой же высоты, вычисляемый по формуле [math]F'(i) = \sum\limits_{j = i + 1}^{i + 2^{h(i)}} a[j][/math].

Прямое дерево Фенвика

Встречное дерево Фенвика

Вспомним, что [math]h(i)[/math] возвращает количество подряд идущих единиц в конце двоичной записи числа [math]i[/math], а каждый столбец прямого дерева Фенвика вычисляется по формуле [math]F(i) = \sum\limits_{j = i - 2^{h(i)} + 1}^i a[j][/math].

[math]i + 2^{h(i)}[/math] можно считать по равносильной формуле [math] i \mid (i + 1) [/math]. Рассмотрим, что делают эти формулы с двоичной записью числа [math]i[/math]. Формула [math]i + 2^{h(i)}[/math] изменяет последний ноль на единицу. Аналогично работает и [math] i \mid (i + 1) [/math].

[math]i[/math]	[math]\ldots 011 \ldots 1[/math]
[math]2^{h(i)}[/math]	[math] 100 \ldots 0[/math]
[math]i + 2^{h(i)}[/math]	[math]\ldots 111 \ldots 1[/math]

[math]i[/math]	[math]\ldots 011 \ldots 1[/math]
[math]i + 1[/math]	[math]\ldots 100 \ldots 0[/math]
[math]i \mid (i + 1)[/math]	[math]\ldots 111 \ldots 1[/math]

Представление отрезка

Теорема:

Любой отрезок можно представить в виде дизъюнктивных объединений [math]O(\log N)[/math] отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Представим встречное дерево Фенвика [math]2^n[/math] на [math]2^n[/math] и посмотрим на него, как на дерево отрезков. В нем существует отрезок [math][1..2^n][/math]. Оставшуюся часть можно разбить на [math]2[/math] поддерева, т.е. отрезок [math](1..n)[/math] разбивается на подотрезки [math](1..\dfrac {n}{2}), (\dfrac{n}{2} + 1..n)[/math]. В итоге получается структура обычного дерева отрезков, для которого известно указанное выше утверждение. Стоит отметить, что поддерево для [math](\dfrac{n}{2} + 1..n)[/math] получается "перевернутым" из-за того, что встречное дерево, по сути, идет от [math]n - 1[/math] до [math]1[/math] в обратном порядке.

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

• Встречное дерево Фенвика позволяет вычислять значение некоторой операции [math]G[/math] на любом отрезке [math][L; R][/math] за время [math]O(\log N)[/math];

• Такое дерево позволяет изменять значение любого элемента за [math]O(\log N)[/math];

• Встречное дерево Фенвика требует [math]O (N)[/math] памяти, а точнее, ровно столько же, сколько и массив из [math]2N[/math] элементов;

• Данная структура данных легко обобщается на случай многомерных массивов.

• Такое дерево Фенвика позволяет представить любой отрезок [math][L; R][/math] в виде дизъюнктивных объединений отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.

Применение

Встречное дерево Фенвика применяется, когда нужно посчитать некоторую операцию на структуре без использования обратного элемента по этой операции. Например, перед нами стоит задача посчитать произведение. Используя дерева Фенвика, мы можем столкнуться с такой ситуацией: элемент [math]a[i] = 0[/math]. Тогда, считая произведение на отрезке [math][l, r][/math] (где [math]l \gt i[/math]) как произведение на отрезке [math][0, r][/math], делённое на произведение на отрезке [math][0, l - 1][/math], мы получим неопределённое значение [math]\dfrac{0}{0}[/math], поэтому нужно использовать встречное дерево Фенвика. С его помощью можно разложить запрос произведения на отрезке на [math]O(\log N)[/math] дизъюнктных отрезков, операция для которых уже посчитана, получается почти как в дереве отрезков.

См. также

• Дерево Фенвика

• Дерево отрезков

Источники информации

• Wikipedia — Fenwick tree
• Maximal:: algo:: Дерево Фенвика