Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках

Теорема (Сун Цзы, О попарно взаимно простых числах):

Пусть [math] n = n_1 n_2 \ldots n_k [/math], где [math] n_i [/math] — попарно взаимно простые числа. Рассмотрим соответствие [math] a \rightarrow (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) [/math], где [math] a_i = a \mod n_i[/math]. Такое соответствие является однозначным, для любого [math]a[/math] ([math] 0 \le a \le n [/math]).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Неконструктивное доказательство : [math] x-y \rightarrow (0 , 0 , \ldots , 0) \Leftrightarrow (x-y) \vdots m_i [/math], значит [math] x \equiv y(mod \text{ } \prod n_i )[/math]. То есть разных наборов всего n. Конструктивное доказательство: Необходимо вычислить элемент [math] a [/math] по заданным [math] (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) [/math]. Сначала определим величины [math] m_i = \frac{n}{n_i}[/math]. Другими словами, [math] m_i[/math] — произведение всех значений [math] n_j[/math], отличных от [math] n_i[/math]. Затем определим [math] c_i = m_i({m_i}^{-1} mod \text{ }n_i) [/math]. Величину [math] a [/math] можно вычислить по формуле [math] a \equiv (a_1c_1 + a_2c_2 + \ldots + a_kc_k)(mod \text{ } n)[/math]. Осталось показать, что это уравнение обеспечивает справедливость соотношения [math] a \equiv a_i(mod \text{ }n_i) [/math]. Заметим, что если [math] i \ne j[/math], то [math] m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i)[/math], откуда следует, что [math] c_j \equiv m_j \equiv 0(mod \text{ }n_i) [/math]. Таким образом [math] a \equiv a_ic_i(mod \text{ }n_i)[/math].

[math]\triangleleft[/math]