Ультраинвариантные подпространства

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}: X \rightarrow X[/math] — автоморфизм. Подпространство [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] называется инвариантным подпространством (ИПП) линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math], если [math]\forall x: \mathcal{A}x \in L \ (\mathcal{A}(L)\subset L) [/math]

Лемма:

Если [math]L_1, L_2[/math] — ИПП [math]\mathcal{A}[/math], то [math]L_1 \cap L_2[/math] и [math]L_1+L_2[/math] тоже ИПП.

Определение:

[math]L[/math] — ИПП [math]\mathcal{A}[/math], [math]\mathcal{A}_L: L \rightarrow L[/math], но [math]\forall x \in L: \mathcal{A}_L x=\mathcal{A} x[/math], тогда [math]\mathcal{A}_L=\mathcal{A} \vert_L[/math] называют частью линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] в [math]L[/math] (сужение оператора [math]\mathcal{A}[/math] на [math]L[/math])

Определение:

[math]L_1, L_2[/math] — ИПП [math]\mathcal{A}[/math], [math]X=L_1 \dotplus L_2[/math] тогда [math]L_1, L_2[/math] называют ультраинвариантным подпространством (УИПП).

Определение:

[math]L[/math] — УИПП [math]\mathcal{A}[/math], тогда часть [math]\mathcal{A}_L[/math] называют компонентой [math]\mathcal{A}[/math] в УИПП [math]L[/math]

Теорема:

[math]L_1, L_2[/math] — УИПП [math]\mathcal{A} \ (X=L_1 \dotplus L_2)[/math], тогда [math]\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] X=L_1 \dotplus L_2 \Rightarrow \forall x=x_1+x_2=\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x+\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x \ (x_1 \in L_1, x_2 \in L_2) \ (*)[/math] - разложение единственно. [math]\mathcal{A}(*)=\mathcal{A}_{L_1}(\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2}x) + \mathcal{A}_{L_2}(\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}x)[/math] — теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]X=L_1 \dotplus L_2[/math] и [math]\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1}\mathcal{P}_{L_1}^{\Vert L_2} + \mathcal{A}_{L_2}\mathcal{P}_{L_2}^{\Vert L_1}[/math], тогда [math]\mathcal{A}=\mathcal{A}_{L_1} \dotplus \mathcal{A}_{L_2}[/math] называется прямой суммой линейных операторов [math] \mathcal{A}_{L_1}[/math] и [math]\mathcal{A}_{L_2}[/math]

Утверждение:

Оператор [math]\mathcal{A}[/math] представим прямой суммой своих компонент в УИПП.

Определение:

Проектор на УИПП называется ультрапроектором.

Определение:

УИПП называется минимальным, если оно не содержит внутри себя не тривиальных УИПП меньшей размерности.

Утверждение:

Различные минимальные УИПП дизъюнктны.

Утверждение:

Число попарно дизъюнктных минимальных УИПП конечно (оператор в конечномерном пространстве).