| Определение: |
Отображение [math]\phi:G_1 \rightarrow G_2[/math] группы [math]\langle G_1, \cdot\rangle[/math] в группу [math]\langle G_2,\times\rangle[/math] называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру:
- [math]\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)[/math]
|
Обозначения:
[math]e(G_i)[/math] единица в [math]G_i[/math]-ой группе.
| Определение: |
| [math]\textrm{ker}\phi=\{x\in G_1\vert\phi(x)=e(G_2)\}[/math] — ядро гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math]. |
| Определение: |
| [math]\textrm{im}\phi=\{y\in G_2\vert\exists x\in G_1:\phi(x)=y\}[/math] — образ гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math]. |
Примеры
- Возьмём отображение [math] h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math], определённое следующим образом: [math] h(x) = x \bmod 3 [/math], — а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.
Свойства гомоморфизмов групп
| Утверждение: |
Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный ([math]e_1\in G_1[/math] в [math]e_2 \in G_2[/math]). |
| [math]\triangleright[/math] |
|
По определению гомоморфизма имеем:
- [math]\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)[/math].
Умножая с обеих сторон на обратный к [math]\phi(e_1)[/math] элемент, получим:
- [math]\phi(e_1) \times \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1} = \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1}[/math]
- [math]\phi(e_1) \times e_2 = \phi(e_1) = e_2[/math], что и требовалось доказать.
Заметим, что доказательство опирается на существование обратного элемента, для моноидов аналогичное утверждение неверно. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Утверждение: |
Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)[/math]
что вместе с единственностью обратного к [math]\phi(x)[/math] элемента означает [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
См. также
Ссылки
