Комплексное евклидово пространство

Определение:

Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{C}[/math] В [math]E[/math] задана эрмитова метрическая форма, т.е [math]G:\: E\times E\longrightarrow \mathbb{C}[/math] co свойствами: [math]1)\: G(\alpha x_{1}+\beta x_{2};y)=\alpha G(x_{1},y)+\beta G(x_{2},y)[/math], где [math]\alpha[/math] , [math]\beta[/math] - комплексные числа [math]2)\: G(x,y)=\overline{G(y,x)}[/math]; [math]G(x,x)=\overline{G(x,x)} \Longrightarrow G(x,x) \in \mathbb{R}[/math] [math]3)\: G(x,x) \ge 0;\: G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]

NB 1: [math]G[/math] полуторалинейна: [math]G(x;\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\overline{\alpha}G(x,y_{1})+\overline{\beta}G(x,y_{2})[/math]

NB 2: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}; x,y \in E([/math]над [math] \mathbb{C})[/math]

NB 3: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}[/math]

[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle _{G}}; \:\Vert\alpha x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle \alpha x,\alpha x\right\rangle _{G}}=\sqrt{\alpha\cdot\overline{\alpha}\cdot\left\langle x,x\right\rangle _{G}}=|\alpha|\cdot\Vert x\Vert_{G} [/math]

Примеры

[math]E = \mathbb{C}^{n}[/math]

[math]\left\langle x,y\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\eta^{i}}[/math]

[math]\left\langle y,x\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\eta^{i}\overline{\xi^{i}}=\overline{\sum\limits \overline{\eta^{i}}\xi^{i}}=\overline{\left\langle x,y\right\rangle }[/math];

[math]\left\langle x,x\right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\xi^{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi^{i}|^{2}\gt 0[/math]

Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)

Теорема:

[math]\forall\: x,y\in \mathbb{C}:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math], где [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math] [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle [/math] [math]= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle [/math] [math]= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math] - многочлен второй степени, все коэффициенты вещественные [math]D \le 0[/math] [math] D/4=(-Re\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\le0\Longrightarrow |Re\left\langle x,y\right\rangle |\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] - верно для [math]\forall x,y\in E[/math]. Назовём это неравенство [math](\times)[/math] - крестик. Трюк: пусть [math]\left\langle x,y\right\rangle = |\left\langle x,y\right\rangle|\cdot e^{i\varphi}[/math], где [math]\varphi=arg\left\langle x,y\right\rangle[/math]. Тогда пусть в [math](\times): y \longrightarrow y\cdot e^{i\varphi} \Longrightarrow \Vert e^{i\varphi}y\Vert=|e^{i\varphi}|\cdot\Vert y\Vert[/math] Заметим, что [math]\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle= \overline{e^{i\varphi}}\left\langle x,y \right\rangle = \overline{e^{i\varphi}}e^{i\varphi}\left|\left\langle x, y\right\rangle\right| = \left|\left\langle x, y\right\rangle\right|[/math] Заменим в [math](\times)[/math] [math]y[/math] на [math]e^{i\varphi}y \: : |Re\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle| \le\Vert x\Vert\cdot\Vert e^{i\varphi}y\Vert[/math] левая часть равна [math]|Re|\left\langle x,y\right\rangle|| = |\left\langle x,y\right\rangle|[/math] правая часть равна [math]\Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] Таким образом, [math]|\left\langle x,y\right\rangle| \le \Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (следствие из Шварца, неравенство треугольника):

[math]\Vert x+y \Vert \leq \Vert x\Vert+\Vert y\Vert[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle x+y, x+y\right\rangle={\Vert x+y \Vert}^{2} = \Vert x\Vert^{2}+\left\langle x,y\right\rangle+\left\langle y,x\right\rangle + \Vert y\Vert^{2} = \Vert x\Vert^{2}+2Re\left\langle x,y\right\rangle+ \Vert y\Vert^{2}[/math] [math]Re\left\langle x,y\right\rangle \le |\left\langle x,y\right\rangle| \le \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] (из неравенства Шварца) Таким образом, [math]{\Vert x+y \Vert}^{2} \le \Vert x\Vert^{2}+2\cdot\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert+ \Vert y\Vert^{2}=(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^2[/math] Взяв корень из левой и правой части, получим искомое неравенство.

[math]\triangleleft[/math]