Список заданий по ДМ 2к 2022 осень

1. Во всех задачах этой серии графы неориентированные, ребро соединяет две различные вершины, между парой вершин есть не более одного ребра. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами?
2. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами и двумя компонентами связности?
3. Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее """"постройте граф с $n$ вершинами, ..."""" означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
4. Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы.
5. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы.
6. Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
7. Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
8. Докажите, что в графе число вершин нечетной степени четно.
9. Докажите, что если в графе ровно две вершины нечетной степени, то они лежат в одной компоненте связности.
10. Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Для заданных $n$ и $k$ постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) = k$.
11. Для заданных $n$, $d$ и $D$ постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) = d$, $\Delta(G) = D$.
12. Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
13. В графе $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ равны тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$. Что можно сказать про граф $G$?
14. Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Какое минимальное число вершин может быть в кубическом графе?
15. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
16. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
17. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
18. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
19. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
20. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
21. Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
22. Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
23. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
24. Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
25. Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
26. Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
27. Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
28. Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
29. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
30. Приведите пример графа, что ни он, ни его дополнение не связаны путями длины не больше 2.
31. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем нечётных простых циклов.
32. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем чётных простых циклов.
33. Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
34. Центром графа называется вершина $u$, для которой кратчайшее расстояние до наиболее удаленной от $u$ вершины минимально. Докажите, что у дерева не более двух центров.
35. Барицентром графа называется вершина $u$, сумма расстояний от которой до остальных вершин минимальна. Докажите, что у дерева не более двух барицентров.
36. Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
37. Докажите, что если $v$ точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
38. Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
39. Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
40. Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
41. Диаметром графа называют максимальное значение кратчайшего пути между двумя его вершинами. Пусть связный граф $G$ имеет хотя бы 4 вершины и диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
42. Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
43. Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
44. Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
45. Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
46. Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
47. Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
48. Дан код Прюфера дерева. Найдите степень каждой вершины, не восстанавливая дерево явно.
49. Даны числа $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Докажите, что количество деревьев, в которых $deg(1) = d_1$, ..., $deg(n) = d_n$ равно $\frac {(n-2)!} {\Pi (d_i - 1)!}$
50. Обобщение формулы Кэли. Пусть дан полный граф, и остовный лес в нём, компоненты связности леса состоят из $c_1, c_2, \ldots, c_k$ вершин. Докажите, что число способов добавить ребра, чтобы получилось остовное дерево, равно $c_1 c_2 \ldots c_k (c_1+c_2+\ldots+c_k)^{k-2}$.
51. Для $n \ge 2$, найдите формулу для количества остовных деревьев $K_n$, содержащих ребро $1-2$,
52. Обобщите матричную теорему Кирхгофа для следующей задачи: дан ориентированный граф и вершина $r$, нужно найти количество корневых деревьев с корнем в $r$.