Степенные ряды

Определение

Определение:

Ряд $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n$ — степенной ряд.

Сделаем замену $y = x - x_0$. Тогда этот ряд превращается в $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n y^n$. Поэтому, далее будем рассматривать только ряды с $x_0 = 0$, переход к общему случаю получается сдвигом.

Лемма Абеля

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля.

Лемма (Абель):

Пусть для некоторого $x_0$ $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n$ — сходится. Тогда $\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|$ ряд $\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|$сходится.

Доказательство:

$\triangleright$

$|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n$ Так как $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ - сходится, то $a_n x^n \to 0$ $\Rightarrow$ $\exists N\ \forall n \gt N\ |a_n x_0^n| \lt 1$ $\Rightarrow$ $|a_n x_1^n| \lt \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n$, $q = \frac{|x_1|}{|x_0|} \lt 1$ $q^n$ — сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|$, и поэтому, сходится.

$\triangleleft$

Радиус сходимости

Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда.

Определение:

$R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ — сходится $\}$. Заметим, что возможны случаи $R = 0$ и $R = \infty$.

Теорема:

Пусть есть ряд $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ и $R$ — его радиус сходимости. Тогда 1) $|x| \lt R$ $\Rightarrow$ ряд абсолютно сходится. 2) $\forall [a; b] \in (-R; R)$ ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) $|x| \gt R$ $\Rightarrow$ ряд расходится. 4) $|x| = R$ — неопределённость.

Доказательство:

$\triangleright$

1) $|x| \lt R$ $\Rightarrow$ по определению точной верхней грани, $\exists x_0 : |x| \lt x_0 \lt R$ и ряд $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$ сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое. 2) $\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)$ $\forall x \in [a; b] : |x| \lt \delta$. По пункту 1, $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n \delta^n$ — абсолютно сходится, значит, к $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ на $[a; b]$ применим признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов, откуда всё следует. 3) Следствие определения радиуса сходимости. 4) Ну неопределённость $:)$

$\triangleleft$

Возникает вопрос: "Как найти $R$?". В большинстве случаев достаточно следующей теоремы:

Теорема:

Пусть есть $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$, $R$ — его радиус сходимости. Тогда: 1) Если $\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|$, то $R = q$. 2) Если $\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$, то $R = \frac1q$ Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: $R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}$. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.

Доказательство:

$\triangleright$

Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично. Рассмотрим $\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x^n|$ и применим к нему признак Даламбера. $\frac{|a_{n + 1} x^{n + 1}|}{a_n x^n} = \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| |x| \to q^{-1} |x|$. Тогда, по признаку Даламбера, при $q^{-1} |x| \lt 1$ ряд сходится, при $q^{-1} |x| \gt 1$ ряд расходится. Итого: $|x| \lt q$ — ряд сходится, $|x| \gt q$ — ряд расходится. Сопоставим с определением $R$ и получим $R = q$. Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.

$\triangleleft$

Примеры

Примеры. $\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n$, $a_n = 1$, $\frac{|a_n|}{|a_{n + 1}| } = 1$

$\sum\limits_{n = 0}^\infty n^n x^n$, $\sqrt[n]{|a_n|} = n \to +\infty$, $R = \frac1{+\infty} = 0$

$\sum\limits_{n = 0}^\infty n^{-n}x^n$, $\sqrt[n]{|a_n|} = n^{-1} \to 0$, $R = \frac1{+0} = +\infty$

$R$ может принимать все значения $[0; +\infty]$.

Возникает вопрос. Подставим в $\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n$ вместо $x$ $x^2$: $\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| \lt 1$. Однако, сумма как функция определена для всех $x$. Как это объяснить? Ответ: "В $\mathbb{R}$ это объяснить нельзя. Нужно использовать $\mathbb{C}$".

$\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}$. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.

Произведение степенных рядов

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$, $g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n$.

$\sum\limits_{k = 0}^n a_k x^k b_{n - k} x^{n - k} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n a_k b_{n - k} \right) x^n = c_n x^n$

$f(x) g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n x^n$

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из $(-R; R)$ степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд.

Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?" Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

Утверждение:

Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда

$\triangleright$

Если $f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$, то $f'(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty a_nnx^{n - 1}$, $\int f(x)dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac1{n + 1}a_n x^{n + 1}$ Выясним, что для $f(x)$ и $f'(x)$ одинаковые радиусы сходимости. $\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n$ $|a_nx^n| \leq |na_nx^n|$. То есть, $x$, для которого сходится $\sum f'$, будет сходиться и $\sum f$. Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда $\subset$ промежутку сходимости исходного ряда. Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.

$\triangleleft$