Теоретический минимум по математическому анализу за 2 семестр

Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических

Определение:

Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math].

Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля

Определение:

Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math].

Вопрос №3. Теорема Фробениуса

Теорема (Фробениус):

[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А).

Вопрос №4. Тауберова теорема Харди

Теорема (Харди):

[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.) Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math].

Вопрос №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши

Определение:

[math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если [math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math].

Определение:

Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к [math]f = \sum f_n[/math], если [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):

Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]

Вопрос №6. Признак Вейерштрасса

Теорема (Вейерштрасс):

[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится. Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math].

Вопрос №7. Признак типа Абеля-Дирихле

Теорема:

* [math]\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n \gt N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| \lt \varepsilon;\quad\exists N:\forall n\gt N\quad a_n \ge a_{n+1}[/math] Тогда ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)[/math] равномерно сходится.

Вопрос №8. Предельный переход под знаком функционального ряда

Теорема:

Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]a[/math] — предельная точка этого множества и [math]\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Тогда если [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство : [math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)[/math]

Вопрос №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] f_{n} [/math] интегрируема и равномерно сходится к [math] f [/math] на [math] [a; b] [/math]. Тогда [math] f [/math] тоже интегрируема, и [math] \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f [/math].

Утверждение:

Пусть функциональный ряд состоит из [math]f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ][/math] и равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться: [math]\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx[/math]

Вопрос №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда

Теорема:

Пусть на [math] (a, b) [/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n[/math], [math]\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)[/math] - сходится. Пусть также [math]\exists f_n'[/math] - непрерывна на [math]\langle a, b \rangle[/math] и [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'[/math] - равномерно сходится на [math]\langle a, b\rangle[/math], тогда на [math]\langle a, b \rangle[/math] выполняется : [math](\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)[/math].

Вопрос №11. Лемма Абеля

Лемма (Абель):

Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] — сходится. Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится.

Вопрос №12. Теорема о радиусе сходимости

Определение:

[math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math].

Теорема:

Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда 1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится. 2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится. 4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.

Вопрос №13. Вычисление радиуса сходимости

Теорема:

Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда: 1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math]. 2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = \frac1q[/math] Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.

Вопрос №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"

Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

Утверждение:

Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда

Вопрос №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы

111

Вопрос №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

1111

Вопрос №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций

<wikitex> $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $

$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{n + 1} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ </wikitex>

Вопрос №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций

<wikitex> $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$

$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ </wikitex>

Вопрос №19. Биномиальный ряд Ньютона

<wikitex> $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $ </wikitex>

Вопрос №20. Формула Стирлинга

<wikitex> $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ </wikitex>

Вопрос №21. Нормированное пространство: арифметика предела

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

Вопрос №22. Ряды в банаховых пространствах

Определение:

Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством, если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.

[math]\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|[/math]

Вопрос №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца

Утверждение:

[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

Вопрос №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.

Определение:

Ряд [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] является ортогональным, если [math] \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 [/math].

В частности, так как [math] l_1, \dots, l_n, \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math](гильбертово), то [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k [/math] — ортогональный ряд.

Теорема:

[math]\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] - сходящийся ортогональный ряд [math] \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 \lt + \infty [/math]. При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: [math] \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 [/math]

Вопрос №26. Принцип сжатия Банаха

Определение:

Пусть [math]X[/math] — B-пространство. Пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math]. [math] \mathcal{T} : \overline V \to \overline V[/math] — сжатие на шаре [math]V[/math], если [math]\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V[/math] [math] : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|[/math].

Теорема (Банах):

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка [math]x^*=\mathcal{T}x^*[/math].

Вопрос №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность

Определение:

Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~\mathcal{A}\colon X \to Y[/math]. [math]\mathcal{A}[/math] называется линейным оператором, если [math]\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math]

Определение:

Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math]

Определение:

Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math]

Теорема:

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Вопрос №28. Норма линейного оператора

Определение:

Нормой ограниченного оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|[/math].

Вопрос №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек

Определение:

Линейный функционал - линейный оператор вида [math] \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} [/math], где [math] H [/math] - гильбертово пространство. TODO: точно так?

{{Теорема |statement= Для любого [math] x_0 \in H [/math] существует ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами:

1. [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]
2. [math]\left \| f \right \| = 1[/math]

Вопрос №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость

Утверждение (покоординатная сходимость в [math]\mathbb R^n[/math]):

Пусть дана последовательность [math]\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n[/math]. Тогда [math]\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x[/math] в [math]\mathbb R^n[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]j \in 1,\dots,n[/math] последовательность [math]\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j[/math]

Вопрос №31. Полнота R^n

Теорема:

Пространство [math]\mathbb R^n[/math] с евклидовой нормой является B-пространством.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме [math]\mathbb R^n[/math]. Если [math]\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0[/math], то для любого [math]j[/math] выполняется [math]|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0[/math]. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей [math]x_j^{(m)}[/math] имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Вопрос №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции

Определение:

Пусть [math]V_{r}(x)[/math] —шар в [math]X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y [/math]. [math]\mathcal{F}[/math] — дифференцируема в точке [math]x[/math], если существует зависящий от [math] x [/math] ограниченный линейный оператор [math]\mathcal{A} : X \to Y[/math], такой, что если [math]\left \| \Delta x \right \| \lt r (x + \Delta x \in V_r(x))[/math], то: [math] \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| [/math], причем [math] \alpha(\Delta x) \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math] Тогда [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)[/math] — производная Фреше отображения [math]\mathcal{F}[/math] в точке [math]x[/math].

Теорема:

Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений. Пусть [math]\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}[/math], тогда [math]\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)[/math]

Определение:

Данный предел называется частной производной первого порядка функции [math]\mathcal{F}_i[/math] по переменной [math]x_j[/math]. [math]A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}[/math]

Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных

[math]f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})[/math]

Вопрос №36. Неравенство Лагранжа

Теорема (Неравенство Лагранжа):

Пусть [math]V[/math] — шар в [math]\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}[/math] —дифференцируема в каждой точке шара, тогда: [math]\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|[/math], где [math]M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| [/math]

Вопрос №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных

Теорема:

Пусть [math]V(a) \subset \mathbb{R}^n[/math] [math]y = f(x_1,...,x_n)[/math], [math]y : V \to \mathbb{R}[/math] [math]\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}[/math], каждая из которых, как функция [math]n[/math] переменных, непрерывна в [math]\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})[/math]. Тогда существует дифференциал этой функции в точке [math]a[/math].

Вопрос №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных

Теорема (О смешанных производных):

Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]\overline a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)[/math]