Двойственный граф планарного графа
Определение:
Граф[1] называется двойственным (англ. dual graph) к планарному графу , если:
- Вершины соответствуют граням .
- Между двумя вершинами в есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в имеют общее ребро.
Чтобы для данного плоского графа построить двойственный , необходимо поместить по вершине в каждую грань (включая внешнюю), а затем, если две грани в имеют общее ребро, соединить ребром соответствующие им вершины в (если грани имеют несколько общих рёбер, соответствующие вершины следует соединить несколькими параллельными рёбрами). В результате всегда получится плоский псевдограф.
Например, существуют графы, двойственные себе: — и . Далее мы убедимся, что среди полных графов только они обладают таким свойством.
Свойства
- Если — двойственный к двусвязному графу , то — двойственный к .
- У одного и того же графа может быть несколько двойственных, в зависимости от конкретной укладки (см. картинку).
- Поскольку любой трёхсвязный планарный граф допускает только одну укладку на сфере[2], у него должен быть единственный двойственный граф.
- Мост переходит в петлю, а петля — в мост. Частный случай: полный граф
- Мультиграф, двойственный к дереву, — цветок.
Самодвойственные графы
| Определение: |
| Планарный граф называется самодвойственным (англ. self-dual graph), если он изоморфен своему двойственному графу. |
Утверждение:
и — самодвойственные графы. Среди полных графов других самодвойственных нет.
Проверить, что и полны и самодвойственны несложно. Докажем, что других нет.
Поскольку грани графа переходят в вершины, количество вершин и граней в исходном графе должно совпадать, т.е. .
Подставив в формулу Эйлера имеем: .
В полном графе .
Получаем квадратное уравнение: .
Его решения: и .
Таким образом, чтобы полный граф был самодвойственным, в нём должна быть ровно одна или четыре вершины.
Поскольку грани графа переходят в вершины, количество вершин и граней в исходном графе должно совпадать, т.е. .
Подставив в формулу Эйлера имеем: .
В полном графе .
Получаем квадратное уравнение: .
Его решения: и .
Таким образом, чтобы полный граф был самодвойственным, в нём должна быть ровно одна или четыре вершины.
Утверждение:
Все колёса самодвойственны.
Это утверждение очевидно.
Достаточно убедиться, что два варианта укладки колеса (вершина с большой степенью внутри или вершина с большой степенью снаружи) двойственны друг другу.
Достаточно убедиться, что два варианта укладки колеса (вершина с большой степенью внутри или вершина с большой степенью снаружи) двойственны друг другу.
