Модуль непрерывности функции

Определение:

Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если: [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math] [math]\omega (t)[/math] неубывает [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)

Свойства модулей непрерывности

Утверждение (свойство №1):

[math]\forall n \in \mathbb{N}[/math]: [math] \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Доказательство ведется по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) \cdot t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \cdot \omega (t)[/math], ч. т. д.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (свойство №2):

[math]\forall \lambda \gt 0[/math]: [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math]. [math]\omega(\lambda t) \le \omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t) \le (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (свойство №3):

Пусть для некоторой функции [math]\omega[/math] выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция [math]\frac{\omega(t)}t[/math] не возрастает. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.

[math]\triangleright[/math]

Видно, что требуется доказать только полуаддитивность. Т. к. [math]t_1, t_2 \lt t_1 + t_2[/math], то [math]\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}[/math]. Тогда [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение (свойство №4):

Пусть [math]\omega[/math] удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.

[math]\triangleright[/math]

Докажем, опираясь на свойство 3. Покажем, что [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] убывает. [math]0 \lt t_1 \lt t_2[/math], [math]t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2[/math] - выпуклая комбинация 0 и [math]t_2[/math]. Из выпуклости следует: [math]\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)[/math]. Но [math]\omega(0) = 0[/math], следовательно, [math]\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], то есть, функция [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] является убывающей.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, [math]\omega (t) = \frac{t}{t + 1}[/math] является модулем непрерывности.
[math]\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} \gt 0[/math] - функция возрастает.
[math]\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} \lt 0[/math] - функция является выпуклой вверх.

Из этого факта следует неравенство [math]\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}[/math]

Теорема о выпуклом модуле непрерывности

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:

Утверждение:

Пусть имеется семейство выпуклых функций [math]F_\alpha(t), \alpha \in A[/math]. Тогда [math]f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)[/math] — также выпуклая функция.

[math]\triangleright[/math]

Требуется показать, что: [math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \qquad \beta \in [0; 1][/math] Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого [math]\alpha \in A[/math] верно: [math]\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)[/math]. Но по определению [math]f(t) \le f_{\alpha}(t)[/math], следовательно, [math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)[/math]. Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества [math]F[/math], получаем искомое неравенство.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):

Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такая, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По свойству 2 имеем [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math] для всех [math]\lambda[/math] и [math]t \ge 0[/math]. Обозначим [math]u = \lambda t[/math], тогда [math]\lambda = \frac ut[/math]. Перепишем равенство [math]\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)[/math]. Определим теперь функцию [math]\omega^*(u) = \inf\limits_{t \gt 0}\,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)[/math]. Рассмотрим семейство функций [math] \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t \gt 0[/math]. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда [math]\omega^*(u)[/math] выпукла вверх по доказанному выше факту. Докажем теперь, что [math]\omega^*(u)[/math] - модуль непрерывности. Действительно, [math]\omega^*[/math] выпукла вверх [math]\omega^*(0) = \inf\limits_{t \gt 0}\,{\omega(t)} = 0[/math] (т. к. [math]\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0[/math] ) [math]\omega^*[/math] неубывает. В самом деле, [math]u_1 \le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)[/math]. Переходя к нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем [math]u_1 \le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \le \omega^*(u_2)[/math]. По свойству №2 модулей непрерывности [math]\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)[/math]. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение функции [math]\omega^*(u)[/math], получим требуемые в условии теоремы неравенства. Итак, построенная нами функция [math]\omega^*(t)[/math] является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.

[math]\triangleleft[/math]

Модуль непрерывности функции

Пусть [math]f[/math] - функция, непрерывная на [math][a; b][/math]. Пусть [math]h \ge 0[/math]. Положим

[math]\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|[/math].

Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции [math]f[/math].

Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции [math]f[/math]:

[math]\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \qquad \forall h \ge 0[/math].

Опеределим [math]\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}\,\omega^*(h)[/math], где [math]\Omega^*(f)[/math] - класс выпуклых мажорант функции [math]f[/math] (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).

Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции [math]f[/math].

По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:

[math]\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\cdot\omega(f, h) \qquad \forall\lambda, h \ge 0[/math], а также:

[math]\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)[/math]