Определённый интеграл, зависящий от параметра

<wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.

До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных.

$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.

Установим три простых факта

1. $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
2. Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то существует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
3. $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.

Пункт первый. Непрерывность.

Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:

$ \Pi = [a; b] \times [c; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: |\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d] $

Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.

Значит, $ \forall y : \Delta F(y, \Delta y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $, то есть F - непрерывна.

Пункт второй. Формула Лейбница.

$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $

В силу предположений из условия и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа: $ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $

По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывна на компакте, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $

Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $.

Пункт третий. Смена местами интегралов.

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $

Так как $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют.

Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница.

$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx$, пусть для некоторого $G(y),\quad G'(y) = F(y) $

Тогда $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $

$ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F.

$ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $

Написанное равенство можно дифференцировать по формуле Лейбница:

$ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $.

$ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F.

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $, то нужная формула установлена.

</wikitex>