Предел монотонных функций

Монотонные функции

Определение:

[math] y = f(x), x \in \mathbb R [/math]. Если [math]\ \forall x_1 \lt x_2\ \ f(x_1) \lt f(x_2) [/math], то [math]f(x)[/math] возрастает, пишут [math]f(x)\!\!\uparrow[/math]. Если [math]\ \forall x_1 \lt x_2\ \ f(x_1) \gt f(x_2) [/math], то [math]f(x)[/math] убывает, пишут [math]f(x)\!\!\downarrow[/math]. Класс функций [math]f(x)\!\!\downarrow[/math] и [math]f(x)\!\!\uparrow[/math] — класс монотонных функций.

Односторонние пределы

Определение:

[math] A = \lim\limits_{x \to a+0} f(x) = f(a+0)[/math] — правосторонний предел, если [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 \lt x - a \lt \delta \Rightarrow | f(x) - A| \lt \varepsilon [/math]. [math] A = \lim\limits_{x \to a-0} f(x) = f(a-0)[/math] — левосторонний предел, если [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \ \exists \delta: \ \ 0 \lt a - x \lt \delta \Rightarrow | f(x) - A| \lt \varepsilon [/math]. Если [math]\ f(a-0) = f(a+0) = A [/math], то [math]A = \lim\limits_{x \to a} f(x)[/math].

Классификация точек разрыва

Определение:

Пусть [math] a [/math] — точка разрыва функции [math] f(x) [/math]. Тогда: Если [math] \exists A = \lim\limits_{x \to a} f(x)[/math], то [math] a [/math] — точка устранимого разрыва, и, как правило, функцию доопределяют: [math] f(a) = A[/math]. Если [math] \exists f(a-0), f(a+0)[/math] и [math] f(a-0) \ne f(a+0) [/math], то в точке [math] a [/math] — разрыв первого рода. Иначе в точке [math] a [/math] — разрыв второго рода.

Простая, но важная теорема

Теорема:

Пусть функция [math] f [/math] — монотонна и ограничена в проколотой окрестности точки [math] x_0 [/math]. Тогда в этой точке у функции существует односторонний предел.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим левосторонний предел и будем считать, что функция возрастает. Так как [math] f [/math] — ограничена, то [math] M = \sup\limits_{x \lt x_0} f(x) \lt +\infty [/math]. Докажем, что [math] M = \lim\limits_{x \to x_0 - 0} f(x) [/math], используя свойства [math] \sup [/math]. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \ \exists x_1 \lt x_0 : M - \varepsilon \lt f(x1)[/math] Тогда так как [math]f(x)\!\!\uparrow \forall x \in (x_1; x_0) \ \ f(x_1) \le f(x)[/math], тогда для таких [math] x \ \ M - \varepsilon \lt f(x) \le M \le M + \varepsilon [/math]. В качестве [math] \delta [/math] можно брать [math] \delta = x_0 - x_1 [/math], тогда предел существует по определению.

[math]\triangleleft[/math]