Изменения

Нам надо научиться быстро изменять частичные суммы в зависимости от того, как изменяются элементы. Рассмотрим как изменять величину <tex>a_{k}</tex> на величину <tex>d</tex>. Тогда нам надо {{Лемма|statement= Необходимо изменить элементы дерева <tex>T_{i}</tex>, для которых верно неравенство <tex>F(i) <= k <= i</tex>. |proof= <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k, i = \overline{0, n} \Rightarrow</tex> необходимо менять те <tex>i</tex>, для которых <tex>a_{k}</tex> попадает в <tex>T_i \Rightarrow</tex> необходимые <tex> i </tex> удовлетворяют условию <tex>F(i) <= k <= i</tex>.}} Очевидно первым элементом последовательности будет само k. Все <tex>i</tex> мы можем получить следующим образом : <tex>i_{next} = i_{prev} | (i_{prev} + 1) </tex>, Где под | понимают побитовое ИЛИ. Следующим элементом в последовательности будет элемент, у которого первый с конца ноль превратится в единицу. Можно заметить, что если к исходному элементу прибавить единицу, то необходимый ноль обратится в единицу, но при этом все следующие единицы обнулятся. Чтобы обратно их превратить в единицы, применим операцию побитового ИЛИ. Таким образом все нули в конце превратятся в единицы и мы получим нужный элемент. Для того, чтобы понять, что эта последовательность верна, достаточно посмотреть на таблицу.