171
правка
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex>I \in I_1 \cap I_2</tex>. Следовательно, <tex>\forall U \subset X</tex> верно <tex>I \cap U \in I_1, I \setminus U \in I_2</tex>. Тогда, из определения ранга, <tex>|I| = |I \cap U| + |I \setminus U| \leq r_1(U) + r_2(X \setminus U)</tex>.
В другую сторону докажем теорему алгоритмически. На каждом этапе алгоритм получает <tex>I \in I_1 \cap I_2</tex> и либо заключает, что множества большей мощности из <tex>I_1 \cap I_2</tex> получить нельзяневозможно, либо возвращает <tex>J \in I_1 \cap I_2: |J| = |I| + 1</tex>.
Введем двудольный ориентированный '''граф замен''' для <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> - граф <tex>D</tex>. Левой долей <tex>D</tex> являются элементы текущего множества <tex>I \in I_1 \cap I_2</tex>, правой - все остальные элементы <tex>X \setminus I</tex>. Проведем ребра <tex>(y, z): y \in I, z \in X \setminus I, I \setminus y \cup z \in I_1</tex>, а также <tex>(z', y'): y' \in I, z' \in X \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in I_2</tex>.
