Изменения
Нет описания правки
<br>Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное полное паросочетание.
|proof =
Строго говоря утверждение теоремы не совсем корректно, так как в правой доле полученного графа <tex>G'</tex> вершин на одну больше, чем в левой. Поэтому добавим в <tex>G'</tex> фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. Пусть путь <tex>P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)</tex>, где <tex>a_1</tex> - фиктивная вершина. <br>Существование паросочетания очевидно - это ребра <tex>(a_i,b_i)</tex>.<br>Предположим, что существует другое паросочетание <tex>(a_i, b_{ji})</tex>. Тогда пусть <tex>i_0 = min \{ i \: | \: j_i < i \}</tex>. Обозначим <tex>j_{i_0}</tex> как <tex>i_1</tex>. Заметим, что <tex>i_1 < i_0</tex> и поэтому не может быть <tex>j_{i_1} < i_1</tex>, ведь <tex>i_0</tex> - минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно <tex>j_{i_1} = i_1</tex>, поскольку тогда <tex>a_{i_0}</tex> и <tex>a_{i_1}</tex> имели бы одинаковую пару. Следовательно, <tex>j_{i_1} > i_1</tex>. Это значит, что существует путь <tex>P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1}}, \ldots, a_k, b_k )</tex> короче, чем <tex>P</tex>. <br> Противоречие.
}}
