Изменения

Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) \le < +\infty </tex>. {{Определение|definition=Множество <tex>A \subset X</tex> называется '''μ*-измеримым''', если оно '''хорошо разбивает''' всякое множество <tex>E \subset X</tex>.}} Выделим в <tex> X </tex> класс <tex> \mu^*</tex>-измеримых множеств <tex> \mathcal{A} </tex>.

Сначала проверим аксиомы [[Полукольца и алгебры#Алгебра | алгебры]]:

# <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) </tex>, значит, <tex> \varnothing \in \mathcal{A} </tex>.# Пусть <tex> A \in \mathcal{A} </tex>, тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) </tex>, значит, для <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}</tex>.# Пусть <tex> A, B \in \mathcal{A} </tex>. #: Заметим, что, так как <tex>\overline{A} \subset \overline{A \cap B}</tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>, и меры этих множеств равны.#: Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>.#: Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = </tex>#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.#: Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.

Пусть <tex> A \in \mathcal{A} , A = A_1 \cup A_2 </tex>, тогда и <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E A_1 \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) A_2 = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) varnothing</tex>, значитпроверим, для что <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}mu^* </tex>конечно-аддитивна.

Пусть <tex> \mu^*(A, B ) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \in cup A_2) \mathcalcap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{AA_1} ) = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.

Заметим, что, так как <tex> \overline{A \cap B} \subset \overline{A} </tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>Мы сделали проверку для двух множеств, и меры этих дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств равныпо индукции.

Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>'''2. Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex> <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>'''

Из первого пункта мы уже знаем, что, <tex> \forall p \in \mathbb N: </tex>, если <tex> A_1, A_2, ..., A_p \in \mathcal{A} </tex> дизъюнктны, то <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + bigcup\mulimits_{j = 1}^*(E {p} A_j) = \cap sum\overlinelimits_{j = 1}^{A \cap Bp} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}A_j) = </tex>.

Пусть <tex> B_p = \bigcup\limits_{j=1}^{p} A_j, B_p \in \mathcal A </tex>.Полагая <tex> B = \lim\limits_{p \rightarrow \infty} B_p </tex>, для доказательства того, что <tex> \mathcal{A} </tex> является <tex> \sigma </tex>-алгеброй, нам нужно установить неравенство: <tex>\forall E \subset X: \mu^*(E ) \cap A ge \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.

Значит, <tex> A B_p \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> in \mathcal A </tex>. Мы доказали, что поэтому <tex> \mathcal A mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_p) + \mu^*(E \cap \overline{B_p}) = \mu^*(E \cap \overline{B_p}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex> - алгебра.

Пусть <tex> A \in overline{B} \mathcalsubset \overline{AB_p}, A \Rightarrow \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j= A_1 \cup A_2 </tex>, проверим, что <tex> 1}^{p} \mu^* (E \cap A_j) </tex> конечно-аддитивна.

При <tex> p \mu^*(A) = rightarrow \mu^*(A_1 \cup A_2) = infty </tex>, получаем <tex> \mu^*((A_1 \cup A_2E) \cap A_1) + ge \mu^*((A_1 \cup A_2) E \cap \overline{A_1B} ) + \sum\limits_{j= 1}^{\infty} \mu^*(A_1) + E \mu^*(A_2cap A_j) </tex>.

Мы сделали проверку для двух множествНо <tex> E \cap B \subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(E \cap A_j) </tex>, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукциипоэтому <tex> \sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu^*(E \cap A_j) \ge \mu^*(E \cap B) </tex>, и <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \mu^*(E \cap B) </tex>. Требуемое неравенство доказано, <tex> B \in \mathcal A </tex>.

'''2Подставим в <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j)\ \ B</tex> вместо <tex> E </tex>, получим <tex> \mu^*(B) \ge \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>. Но по <tex> \sigma </tex>-аддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, поэтому <tex> \mu^*(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty} A_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, и <tex> \mu^* </tex> - <tex> \sigma </tex>-аддитивная мера на <tex> \mathcal A </tex>.'''