689
правок
Изменения
м
Режим В Visual С++ режим округления и другие настройки вещественной арифметики в C++ можно изменить с помощью функции _controlfp (MSDN рекомендует использовать более безопасную версию _controlfp_s).
Нет описания правки
'''Интервальная арифметика''' — математическая структураспособ работы с вещественной арифметикой, которая который для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Данная математическая модель удобна Этот способ удобен для работы с величинами, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
== Операции над интервалами ==
Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы <tex> [a, b]\ (a \leqslant b) </tex>. Операции над ними определяются следующим образом:
* Сложение: <tex> [a, b] + [c, d] = [\lfloor a + c\rfloor, \lceil b + d\rceil] </tex>* Вычитание: <tex> [a, b] - [c, d] = [\lfloor a - d\rfloor, \lceil b - c\rceil] </tex>* Умножение: <tex> [a, b] \times [c, d] = [\min(\lfloor ac\rfloor, \lfloor ad\rfloor, \lfloor bc\rfloor, \lfloor bd\rfloor), \max(\lceil ac\rceil, \lceil ad\rceil, \lceil bc\rceil, \lceil bd\rceil)] </tex>* Деление: <tex> [a, b] / [c, d] = [\min(\lfloor a/c\rfloor, \lfloor a/d\rfloor, \lfloor b/c\rfloor, \lfloor b/d\rfloor), \max(\lceil a/c\rceil, \lceil a/d\rceil, \lceil b/c\rceil, \lceil b/d\rceil)] </tex>
Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.
Допустим, нам нужно точно определить знак некоторого выражения (это может потребоваться, например, при вычислении предиката [[Предикат "левый поворот" |"левый поворот"]]). Будем использовать для его вычисления интервальную арифметику. Все исходные переменные, входящие в него, будут вырожденными интервалами. При выполнении одной из элементарных операций, описанных выше, будем вычислять нижнюю границу с округлением вниз, а верхнюю - с округлением вверх. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. Если левая и правая границы интервала для всего выражения оказались одного знака, то и само выражение однозначно будет иметь тот же знак. В противном случае требуются дополнительные действия.
== Проблемы и ограничения ==
Переключение режима округления в процессоре является довольно длительной операцией, поэтому, если использовать его в каждой элементарной операции, это может сильно замедлить вычисления. Впрочем, эту проблему можно легко решить. Пусть мы вычисляем операцию <tex>l = \lfloor a \circ b \rfloor </tex> с округлением вниз, тогда <tex> r = - ((-\lceil a) \circ (-b)) \rceil </tex> - эта же операцияможно вычислить, посчитанная с округлением вверхзаменив знаки операндов на противоположные и восстановив корректный знак <tex> a \circ b </tex>. Значит, можно включить округление вниз до работы с интервалами и вернуть стандартный режим после нее, тогда много переключений не потребуется.
Предполагается, что мы можем управлять округлением в операциях над вещественными числами. Стандарт IEEE 754 гарантирует такую возможность, но не все современные языки/архитектуры его выполняют. Например, согласно [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf этому] материалу, вещественная арифметика в Java не соответствует стандарту IEEE 754 (в частности, не позволяет указывать правила округления). Поэтому на Java нельзя реализовать требуемую интервальную арифметику с использованием только примитивных типов double/float.
