74
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых элементов <tex dpi=180 dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> из выполнения отношений <tex dpi=180>(aRb)</tex> и <tex dpi=180>(bRa)</tex> следует равенство <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex>.
}}
:<tex dpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b</tex>
Или эквивалентное
{{Определение
|definition =
Бинарное отношение <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> из выполнения отношения <tex dpi=180>(aRb)</tex> следует невыполнение отношения <tex dpi=180>(bRa)</tex>.
}}
:<tex dpi=180>\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)</tex>
Определение антисимметричного отношения как <tex dpi=180> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R.
Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения:
{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex dpi=180>R</tex> на множестве <tex dpi=180>X</tex> называется '''асимметричным''', если для любых элементов <tex dpi=180 dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> множества <tex dpi=180>X</tex> одновременное выполнение отношений <tex dpi=180>a R b</tex> и <tex dpi=180>b R a</tex> невозможно.
}}
Заметим, что антисимметричное отношение {{---}} частный случай асимметричного. Это наглядно показывают следующие рассуждения:
Примерами антисимметричных отношений являются, по определению, все отношения [http://ru.wikipedia.org/wiki/Вполне_упорядоченное_множество полного] и [http://ru.wikipedia.org/wiki/Частично_упорядоченное_множество частичного порядка](<tex> <, >, \le, \ge </tex> и другие).
Антисимметрично отношение делимости на натуральных числах (если <tex dpi=150>a \mid b</tex> и <tex dpi=150>b \mid a</tex>, то <tex dpi=150>a=b</tex>)
Отношение включения на <tex dpi=180>2^U</tex>, где <tex dpi=180>U</tex> - универсум, антисимметрично (<tex dpi=180> A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A = B</tex>).
== Свойства антисимметричного отношения ==
Матрица смежности антисимметричного отношения может содержать единицы на главной диагонали, притом если элемент <tex dpi=180>a_{ij}</tex> матрицы равен единице, то элемент <tex dpi=180>a_{ji}</tex> равен нулю. Отсюда следует, что матрица <tex dpi=180>M+M^T</tex>, где <tex dpi=180>M</tex> - матрица смежности некоторого антисимметричного отношения, может содержать 2 только на главной диагонали.
Ориентированный граф, изображающий антисимметричное отношение не имеет двух дуг с противоположной ориентацией между двумя различными вершинами, однако в нём могут быть петли.
Если <tex dpi=180>a</tex> и <tex dpi=180>b</tex> - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения:#<tex dpi=180>a\cap b</tex>#<tex dpi=180>a^{-1}</tex>#<tex dpi=180>b^{-1}</tex>
==См. также==
