211
правок
Изменения
м
Нет описания правки
|definition =
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]].
Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''' , если <tex>|\beta| > 2</tex>.
}}
== Алгоритм ==
С каждым длинным правилом <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, <tex>k > 2</tex>, <tex>a_i \in \Sigma \cup N</tex> проделаем следующее: <br>
Добавим в грамматику <tex>k - 2</tex> новых нетерминалов нетерминала <tex>B_1, B_2, \ldots B_{k-2}</tex> . <br>
Добавим в грамматику <tex>k-1</tex> новое правило: <br>
<tex>A \rightarrow a_1B_1</tex> , <br><tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex> , <br><tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex> , <br><tex>\ldots </tex> , <br><tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex> . <br>
Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.
=== Корректность алгоритма ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]]. <tex>\Gamma'</tex> {{---}} грамматика, полученная в результате применения алгоритма к <tex>\Gamma</tex>. Тогда <tex>L(\Gamma) = L(\Gamma').</tex>
|proof=
<tex>\Rightarrow </tex> <br>
Покажем, что <tex>L(\Gamma) \subset L(\Gamma')</tex> . <br>
Пусть <tex>w \in L(\Gamma)</tex>. Рассмотрим вывод <tex>w</tex>. Если в выводе используется длинное правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, то заменим его на последовательное применение правил <tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>, <tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>,
<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>, <tex>\ldots </tex>, <tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>. Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma'</tex> . <br>
<tex>\Leftarrow </tex> <br>
Покажем, что <tex>L(\Gamma') \subset L(\Gamma)</tex> . <br>Допустим, что это не так, и то есть <tex>\exists w \in L(\Gamma'), w \notin L(\Gamma)</tex>. <br>
Рассмотрим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma' \cup \Gamma</tex>, минимальный по количеству примененных правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>. <br>
Найдем в этом выводе первое применение некоторого правила <tex>A \rightarrow a_1A_1, a_1 \in \Sigma \cup N</tex>, которого нет в <tex>\Gamma</tex>. В ходе алгоритма оно было получено из некоторого длинного правила <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>. Применим <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex> вместо <tex>A \rightarrow a_1A_1</tex>, и удалим в выводе все применения правил, полученных из <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.
Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma \cup \Gamma'</tex>, в котором меньше применений правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>, чем в исходном. Противоречие.
}}
== Пример работы ==
Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике: <br>
<tex>S \rightarrow AB</tex> , <br><tex>A \rightarrow aBcB</tex> , <br><tex>B \rightarrow def</tex> . <br>
Для правила <tex>A \rightarrow aBcB</tex> вводим 2 новых нетерминала <tex>A_1, A_2</tex>, и 3 новых правила: <br><tex>A \rightarrow aA_1</tex> , <br><tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex> , <br><tex>A_2 \rightarrow bB</tex> . <br>
Для правила <tex>B \rightarrow def</tex> вводим 1 новый нетерминал <tex>B_1</tex>, и 2 новых правила: <br><tex>B \rightarrow dB_1</tex> , <br><tex>B_1 \rightarrow ef</tex> . <br>
В итоге, полученная грамматика <tex>\Gamma'</tex> будет иметь вид: <br>
<tex>S \rightarrow AB</tex> , <br><tex>A \rightarrow aA_1</tex> , <br><tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex> , <br><tex>A_2 \rightarrow bB</tex> , <br><tex>B \rightarrow dB_1</tex> , <br><tex>B_1 \rightarrow ef</tex> . <br>
