Изменения

{{Определение|definition = Два <em> автомата</em> <tex> \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{10}, T_1\subseteq Q_1 \rangle </tex> и <font facetex>\mathcal{A}_2 ="Times" size\langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{20}, T_2\subseteq Q_2 \rangle </tex> называются <em>эквивалентными</em>, если они распознают один и тот же язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, то есть <tex>\mathcal{L}(\mathcal{A}_1) ="3"\mathcal{L}(\mathcal{A}_2)</tex>}}

*'''{{Определение: ''' Два <em> автомата</em> |definition = Слово <tex>z \mathcal{A}_1(Q_1,in \Sigma,\delta_1,s_{10}, T_1\subseteq Q_1)^*</tex> и различает два состояния <tex>\mathcal{A}_2(Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{20}, T_2\subseteq Q_2)q_i</tex> называются и <emtex>эквивалентнымиq_j</emtex>, если они распознают один и тот же язык над алфавитом * <tex>\Sigmalangle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow t_1 \notin T \Leftrightarrow t_2 \in T </tex>.*'''}} {{Определение: ''' |definition = Два <em> состояния</em> <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex> называются <em>эквивалентными</em> <tex>(q_i \sim q_j)</tex>, если не существует строки, которая их различает, то есть <tex>\forall z\in \Sigma^*</tex> верно, что * <tex>\delta(langle q_i, z)\in T rangle \Leftrightarrow vdash^* \delta(q_jlangle t_1, z)\in T</tex>. Из этого следует, что если два состояния <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex> эквивалентны, то и состояния <tex>varepsilon \delta_1(q_irangle, a)</tex> и <tex>\delta_2(langle q_j, a)</tex> будут эквивалентными для <tex>z \forall a rangle \in vdash^* \Sigma</tex>. Кроме того, т.к. переход <tex>\delta(qlangle t_2, \varepsilon)</tex> может возникнуть только для конечного состояния <tex>q</tex>, то никакое допускающее(терминальное) состояние не может быть эквивалентно недопускающему состоянию. Нахождение классов эквивалентных состояний внутри автомата и их совмещение в одно состояние используется в быстром алгоритме Хопкрофта для минимизации автомата, работающий за <tex>O(n \log n)</tex>.*'''Определение:''' Слово <tex>z \in rangle \Sigma^*</tex> различает два состояния <tex>(q_i \nsim q_j)</tex>, если <tex>\delta(q_i, z)Rightarrow t_1 \in T \Leftrightarrow t_2 \delta(q_j, z)\notin in T</tex>. Также, если слово <tex>z</tex> различает состояния <tex>t_1</tex> и <tex>t_2</tex> такие, что <tex>t_1=\delta(q_1, a)</tex> и <tex>t_2=\delta(q_2, a)</tex>, то слово <tex>aw</tex> различает состояния <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex>. Нахождение пар различных состояний в автомате используется в алгоритме минимизации автомата, работающий за <tex>O(n^2)</tex>. }}

<font face="Times" size="3">*Если положить, что начальные состояния эквивалентны, то, последовательно переходя по одному символу из состояний, можем получить и другие пары эквивалентных состояний. Если же в одну из таких пар попадут допускающее состояния вместе с недопускающим, то такие <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex> <em>неэквивалентны</em>.*Таким образом получим разбиение множества <tex> Q_1\cup Q_2</tex> на множества эквивалентных состояний. После этого проверим, что никакое из этих множеств не содержит допускающее и недопускающее состояние одновременно, тогда автоматы эквивалентны.</font>Алгоритм проверки эквивалентности автоматов ==