==Задача==
Пусть дано отношение <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex>. Необходимо построить его [[Транзитивное замыкание|транзитивное замыкание]] <tex>\mathrm{TrCl}(R)</tex>.
== Алгоритм ==
Пусть вершины графа <tex>G=(V,\; E),\; |V| = n</tex> пронумерованы от 1 до <tex>n</tex>. Каждая вершина соответствует элементу множества. А наличие ребра между вершинами означает, что соответствующие элементы множества состоят в отношении. Пусть так же введено булево обозначение <tex>d_{i j}^{k}</tex> для наличия пути (равно true, если есть путь, и false {{---}} в противном случае) от <tex>i</tex> до <tex>j</tex>, который кроме самих вершин <tex>i,\; j</tex> проходит только через вершины <tex>1 \ldots k</tex>(с номерами <tex> \le k </tex>).
Пусть вершины графа Тогда существующий путь между <tex>G=(Vi,\; E),\; |V| = nj</tex> пронумерованы от 1 до , проходящий через <tex>n</tex> и введено обозначение <tex>d_{i j}^{k}</tex> для длины кратчайшего пути (сначала он идет от <tex>i</tex> до <tex>jk</tex>, который кроме самих вершин а потом от <tex>i,\; j</tex> проходит только через вершины <tex>1 \ldots k</tex>(с номерами до <tex> \le k j</tex>). Очевидно, что очевидно, выражается, как <tex>d_{i j}^{0k}</tex> — длина (вес) ребра <tex>(=d_{i,k}^{k-1} \;cap d_{k j)}^{k-1}</tex>, если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как <tex>\infty</tex>)
Существует два варианта значения <tex>d_{i j}^{k},\;k \in \mathbb (1,\;\ldots,\;n)</tex>: # Кратчайший путь между <tex>i,\;j</tex> не проходит через вершину <tex>k</tex>, тогда <tex>d_{i j}^{k}=d_{i j}^{k-1}</tex># Существует более короткий путь между <tex>i,\;j</tex>, проходящий через <tex>k</tex>, тогда он сначала идёт от <tex>i</tex> до <tex>k</tex>, а потом от <tex>k</tex> до <tex>j</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>d_{i j}^{k}=d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1}</tex> Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений. Тогда рекуррентная формула для <tex>d_{i j}^k</tex> имеет вид: <tex>d_{i j}^0</tex> — длина ребра <tex>(i,\;j)</tex> <tex>d_{i j}^{k} = \min (d_{i j}^{k-1},\; d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1})</tex> Алгоритм Флойда — Уоршелла последовательно вычисляет все значения <tex>d_{i j}^{k}</tex>, <tex>\forall i,\; j</tex> для <tex>k</tex> от 1 до <tex>n</tex>. Полученные значения <tex>d_{i j}^{n}</tex> являются длинами кратчайших путей между вершинами <tex>i,\; j</tex>транзитивным замыканием графа.
=== Псевдокод ===
На каждом шаге алгоритм генерирует двумерную матрицу <tex>W</tex>, <tex>w_{ij}=d_{i j}^n</tex>. Матрица <tex>W</tex> содержит длины кратчайших путей между всеми вершинами транзитивное замыкание графа. Перед работой алгоритма матрица <tex>W</tex> заполняется длинами рёбер графаtrue или false в зависимости от наличия ребра в графе.
for k = 1 to n
for i = 1 to n
for j = 1 to n
W[i][j] = min(W[i][j], W[i][k] + and W[k][j])
=== Сложность алгоритма ===
<tex>\sum_{n,\;n,\;n}O(1) = O(n^3),</tex>
то есть алгоритм имеет кубическую сложность, при этом простым расширением можно получить также информацию о кратчайших путях — помимо расстояния между двумя узлами записывать матрицу идентификатор первого узла в пути.
== Применение вариаций алгоритма ==
=== Построение матрицы достижимости ===
Алгоритм Флойда — Уоршелла может быть использован для нахождения замыкания отношения <tex>E</tex> по транзитивности. Для этого в качестве <code>W[0]</code> используется бинарная матрица смежности графа, <tex>({w^0}_{i j})_{n \times n} = 1 \Leftrightarrow (i,\; j) \in E</tex>; оператор <code>min</code> заменяется дизъюнкцией, сложение заменяется конъюнкцией:
for k = 1 to n
for i = 1 to n
for j = 1 to n
W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])
После выполнения алгоритма матрица <code>W</code> является матрицей достижимости.
Использование битовых масок при реализации алгоритма позволяет существенно ускорить алгоритм. При этом сложность алгоритма снижается до <tex>O(n^3 / k)</tex>, где <tex>k</tex> - длина битовой маски (в модели вычислений RAM).
== Ссылки ==
