Изменения

'''Коды Грея для перестановок''' {{- называют --}} это такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

'''Элементарная транспозиция''' {{- --}} транспозиция двух соседних элементов (обмен местами двух соседних элементов). Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.

Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$.Для $n = 1 $ код Грея выглядит так:

{$1$ } {{- --}} $n! $ различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).

Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:

{a_{$a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k-1}}$} ,где a_{$a_{i} }$ при $i = 1, 2, 3, ..., k $ {{- --}} элементы перестановки.

Элемент a_{$a_{k} }$ запишем в начало этой перестановки:

{a_{$a_{k}}, a_{a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

Будем "двигать" этот элемент a_{$a_{k} }$ влево, меняя его с соседним:

{a_{$a_{k}}, a_{a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$} (1)

{a_{$a_{1}}, a_{a_{k}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$} (2)

{a_{$a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{k}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

{a_{$a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, a_{a_{k}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

$..........................$

{a_{$a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k}}, a_{a_{k - 1}}$}

{a_{$a_{1}}, a_{a_{2}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}, a_{a_{k}}$} (3)

Получим $k $ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

{a_{$a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

Элемент a_{$a_{k} }$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:

{a_{$a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}, a_{a_{k}}$} (4)

{a_{$a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k}}, a_{a_{k - 1}}$}

$..........................$

{a_{$a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, a_{a_{k}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

{a_{$a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{k}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

{a_{$a_{2}}, a_{a_{k}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

{a_{$a_{k}}, a_{a_{2}}, a_{a_{1}}, a_{a_{3}}, ..., a_{a_{k - 1}}$}

Опять получили $k $ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент a_{$a_{k} }$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной $n = k - 1 $ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k $ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k! $ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент a_{$a_{k} }$ стоит на разных позициях,а если a_{$a_{k} }$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1 $ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{- --}} имеют a_{$a_{k} }$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k! $ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n $ получен.