74
правки
Изменения
добавил картинки, исправил ошибки, описал категории
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''асимметричным''', если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> одновременное выполнение отношений <tex>a R b</tex> и <tex>b R a</tex> невозможно.
}}
[[Файл:eulervenn.png|200px|thumb|right|Некоторые виды бинарных отношений на диаграмме Эйлера-Венна. Здесь <span style="color:red">AnS {{---}} антисимметричное отношение; <span style="color:orange">As {{---}} асимметричное отношение; <span style="color:blue">Ar {{---}} антирефлексивное отношение; <span style="color:green">S {{---}} симметричное отношение]]Заметим, что антисимметричное асимметричное отношение {{---}} частный случай асимметричногоантисимметричного. Это наглядно показывают Этот факт объясняют следующие рассуждения:
*Главная диагональ матрицы смежности асимметричного отношения заполнена нулями; в остальном свойства матрицы повторяют свойства матрицы смежности антисимметричного отношения.
*Граф асимметричного отношения не содержит петель; в остальном свойства графа повторяют свойства графа антисимметричного отношения.
(см. Свойства антисимметричного отношения)
Можно также заметить, что асимметричное отношение есть частный случай антирефлексивного, которое в свою очередь {{---}} частный случай антисимметричного. Асимметричность, в отличии от антисимметричности, исключает симметричность (см. рис.).
== Примеры антисимметричных отношений ==
== Свойства антисимметричного отношения ==
[[Файл:antisym.png|200px|thumb|right|Граф антисимметричного отношения (не имеет кратных ребер)]]
[[Файл:nonantisym.png|200px|thumb|right|Граф отношения, не являющегося антисимметричным]]
Матрица смежности антисимметричного отношения может содержать единицы на главной диагонали, притом если элемент <tex>a_{ij}</tex> матрицы равен единице, то элемент <tex>a_{ji}</tex> равен нулю. Отсюда следует, что матрица <tex>M+M^T</tex>, где <tex>M</tex> - матрица смежности некоторого антисимметричного отношения, может содержать 2 только на главной диагонали.
Например, если <tex>A</tex> {{---}} матрица смежности отношения "<tex>\le</tex>" на <tex>X \subset N, X = \{1, 2, 3 ,4 , 5\}</tex>; <tex>B</tex> {{---}} матрица смежности отношения делимости на том же множестве <tex>X</tex>, то
<tex> A=\bordermatrix{
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \cr
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr
4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \cr
5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr } </tex>
<tex> B=\bordermatrix{
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \cr
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \cr
3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \cr
4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr
5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr } </tex>
Ориентированный граф, изображающий антисимметричное отношение не имеет двух дуг с противоположной ориентацией между двумя различными вершинами, однако в нём могут быть петли.
