Изменения
→Корректность алгоритма
*Пусть включаем по правилу 6<br>
Тогда <tex>\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \beta, k] \in I_{j}</tex>. По и.п. <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}</tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' = a_1...a_{k} </tex>. Значит при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \beta \delta' </tex> выполнено <tex> S \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>, значит для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно.
*Достаточность
Для всех наборов <tex>\tau = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j} </tex> нужно доказать, что если <tex> S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, A \rightarrow \alpha \beta \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a{j}</tex>, то <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in I_{j}</tex>.<br>
*Рангом набора <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{1}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{2}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{3}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.
Докажем утверждение по индукции:<br>
База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0</tex>. Значит <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>A = S</tex>, следовательно <tex>S \rightarrow \beta \in P</tex>. Значит по правилу 1 <tex>[S \rightarrow \cdot \beta, 0] \in I_0</tex>
Индукционный переход:<br>
Пусть ранг <tex>\tau</tex> равен <tex>r > 0</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>\tau</tex>. Для этого рассмотрим три случая:
*<tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом<br>
<tex>\alpha = \alpha' a</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>a = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \mathcal {g} </tex>. <tex>A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{1}(\tau) = \tau_1(\tau'), \tau_2(\tau) = \tau_2(\tau'), \tau_{3}(\tau) = \tau_3(\tau')</tex>. Значит по и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>, по правилу 4 получаем, что <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.
}}
==Литература==
*А.Ахо, Дж. Ульман. Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтакcический анализ.
