403
правки
Изменения
прочитать, исправить, структурировать
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
==1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E \in \mathcal{A}</tex>, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
|proof=
Выведем это из стандартного факта анализа.
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
Обозначим <tex>g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}</tex>
Осталось показать, что <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex> не выводят за рамки класса измеримых:
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
Аналогично <tex>inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
}}
==2==
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.
{{Определение
|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\not P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется почти всюду на <tex>E</tex>
}}
Пример. Функция Дирихле <tex>f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}</tex>
<tex>g = 1</tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Тогда <tex>f=g</tex> почти всюду на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.
{{Определение
|definition=Есть функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
}}
Для того, чтобы придать более удобную запись
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>
Считаем, что эти функции измеримы <tex>\Rightarrow</tex> это множество измеримо.
Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек из <tex>E</tex>, <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>.
Достаточно вспомнить отрицание предела.
точка <tex>\in</tex> левое множество : <tex>\exists p_0 : x \subset \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{1}{p_0})</tex>
Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0} \right) \Rightarrow n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0}</tex>
Аналогично в обратную сторону.
Множество точек, в которых не сходится к <tex>f</tex>, записывается так
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x)-f(x)| \leq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно, если сходится почти всюду.
{{Утверждение
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима
|proof=
Все измерения проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.
<tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex> и <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо.
<tex>E'=E(f_n\not\to f)</tex>. <tex>\mu E' = 0</tex>
<tex>E'' = E \setminus E'</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n\to f</tex> всюду на <tex>E''</tex>.
<tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>
Первое {{---}} часть нульмерного, значит, и само {{---}} нульмерно. А второе {{---}} измеримо.
Значит, <tex>E(f<a)</tex> {{---}} измеримо как объединение измеримых
}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
==1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E \in \mathcal{A}</tex>, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
|proof=
Выведем это из стандартного факта анализа.
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
Обозначим <tex>g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}</tex>
Осталось показать, что <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex> не выводят за рамки класса измеримых:
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
Аналогично <tex>inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
}}
==2==
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.
{{Определение
|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\not P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется почти всюду на <tex>E</tex>
}}
Пример. Функция Дирихле <tex>f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}</tex>
<tex>g = 1</tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Тогда <tex>f=g</tex> почти всюду на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.
{{Определение
|definition=Есть функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
}}
Для того, чтобы придать более удобную запись
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>
Считаем, что эти функции измеримы <tex>\Rightarrow</tex> это множество измеримо.
Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек из <tex>E</tex>, <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>.
Достаточно вспомнить отрицание предела.
точка <tex>\in</tex> левое множество : <tex>\exists p_0 : x \subset \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{1}{p_0})</tex>
Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0} \right) \Rightarrow n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0}</tex>
Аналогично в обратную сторону.
Множество точек, в которых не сходится к <tex>f</tex>, записывается так
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x)-f(x)| \leq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно, если сходится почти всюду.
{{Утверждение
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима
|proof=
Все измерения проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.
<tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex> и <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо.
<tex>E'=E(f_n\not\to f)</tex>. <tex>\mu E' = 0</tex>
<tex>E'' = E \setminus E'</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n\to f</tex> всюду на <tex>E''</tex>.
<tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>
Первое {{---}} часть нульмерного, значит, и само {{---}} нульмерно. А второе {{---}} измеримо.
Значит, <tex>E(f<a)</tex> {{---}} измеримо как объединение измеримых
}}
