Изменения
Новая страница: «{{Лемма |statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightar...»
{{Лемма
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0]{} 0</tex>. Тогда <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых <tex>{f_{n_k}}(x) </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>
(Иначе - из сходимости в себе следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
|proof=
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
}}
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0]{} 0</tex>. Тогда <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых <tex>{f_{n_k}}(x) </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>
(Иначе - из сходимости в себе следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
|proof=
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
}}
