Изменения

*#унитарный оператор всегда обратим*#если оператор <tex>\hat{H}</tex> -- эрмитов, то оператор <tex>\hat{U} = exp(i\hat{H})</tex> -- унитарный

Пусть <tex>|\Psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle</tex> - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как <tex>ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle</tex>, где оператор <tex>\hat{H}</tex> -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием <tex>|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle</tex> может быть записано в виде <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle = \hat{U} |\psi\rangle</tex>. Оператор Гамильтона должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Отсюда в силу свойств унитарного оператора (Тогда оператор <tex>\hat{U} = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)</tex>, где <tex>\hat{H}</tex> - тоже будет эрмитов) . Отсюда в силу свойства 2 унитарного оператора вытекает, что оператор <tex>\hat{U}</tex> -- унитарный, что и требовалось показать.