Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge 0</tex>) в замкнутом виде (то есть выразив лишь!!!!!!!!!!!! через номер члена последовательности). Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:
1)Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен k, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером n, равно k):
<tex>a_0=...,</tex>
<tex>a_1=...,</tex>
<tex>a_{k-1}=...,</tex>
<tex>a_{n}=..., n \ge k.</tex>
2)Домножить каждую строчку на z в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех n <tex> \ge 0 </tex>.
3)В полученном уравнении привести все суммы <tex>\sum</tex> к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.
4)Выразить <tex>G(z)<\/tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z<\/tex>.
Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:
